Cociente nilpotente del producto semidirecto de un grupo nilpotente y un grupo abeliano libre

Question

Dejemos que $N$ sea un grupo nilpotente infinito finitamente generado y denotemos por $G$ el producto semidirecto $N \rtimes \mathbb{Z}^n$ para algunos $n\in \mathbb{N}$ .

Me gustaría saber si existe un epimorfismo $\varphi \colon G \mapsto N_f$ , donde $N_f$ es un grupo nilpotente no abeliano sin torsión. Más generalmente, para cualquier grupo policíclico no abeliano $H$ ¿existe un epimorfismo hacia un grupo nilpotente no abeliano sin torsión?

Mi intento es el siguiente:

Supongamos que $\mathbb{Z}^n$ es generado libremente por los elementos $x_1\dots,x_n$ . Tomamos $\langle \langle x_1\dots,x_n \rangle \rangle$ el cierre normal del subgrupo $\langle x_1\dots,x_n \rangle= \mathbb{Z}^n$ en $G$ . Entonces, diría que $G / \langle \langle x_1\dots,x_n \rangle \rangle$ es nilpotente? Denotemos $G / \langle \langle x_1\dots,x_n \rangle \rangle$ por $G_0$ y el homomorfismo cociente $G \mapsto G_0$ por $\varphi_0$ .

Si $G_0$ es un grupo nilpotente infinito, $G_0= N_t \times N_f$ , donde $N_t$ es un grupo finito y $N_f$ es un grupo nilpotente sin torsión. Entonces, tomamos $G_1$ para ser $N_f$ y $\varphi_1 \colon G_0 \mapsto N_f$ .

Entonces, $\varphi_1 \circ \varphi_0$ es un epimorfismo $G \mapsto N_f$ donde $N_f$ es un grupo nilpotente sin torsión.

Sin embargo, si $G_0$ es un grupo finito, no puedo definir el $\varphi_1$ epimorfismo, sólo conseguiría que $\varphi_0 \colon G \mapsto G_0$ es un epimorfismo con $G_0$ un grupo nilpotente finito.

Answer 1

Existen contraejemplos de la forma ${\mathbb Z}^2 \rtimes {\mathbb Z}$ .

Por ejemplo, podríamos tomar el grupo $G$ definido por la presentación $$\langle x,y,t \mid xy=yx, t^{-1}xt = y, t^{-1}yt = xy \rangle,$$ con $N = \langle x,y \rangle$ .

Desde $[G,N] = N$ , $G/N \cong {\mathbb Z}$ es el mayor cociente nilpotente de $G$ .