Dé un ejemplo de un conjunto $A$ y una función $f\colon A \to A$ donde $f$ es onto pero no one-to-one.

Question

Estoy tratando de descifrar esta pregunta pero no he podido hasta ahora. Si un conjunto $A$ se mapea sobre sí misma, parece que siempre tendrías una función que es a la vez onto y one-to-one. Mi única idea es que esto puede ser vacuamente cierto para un conjunto $A$ tal que $A = \{\varnothing\}$ . ¿Es esta una suposición verdadera, o hay otro ejemplo que sea válido para este problema?

Answer 1

SUGERENCIA: Tome $A$ para ser un conjunto infinito; $\Bbb N$ funcionará bien. Es imposible con un conjunto finito.

Answer 2

Considere el mapeo $\beta\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ definido por $$ \beta(n)= \begin{cases} (n+1)/2&\text{if $n$ is odd},\\ n/2&\text{if $n$ is even}. \end{cases} $$ ¿Puedes ver por qué $\beta$ es onto pero no one-to-one? Se verá así: