Como sabemos que $ab(a+b)(a-b)=c^2$ no tiene entero solución en $Z^+$. ¿Sin embargo, parece que $$ab(a+b)(a-b)=c^2-1$ $ tiene soluciones infinitas entero positivo, podría probarlo?
Aquí están algunos de ellos: $(a,b,c)=(3, 1, 5), (5, 1, 11), (7, 3, 29), (7, 5, 29), (8, 2, 31), (8, 7, 29), (9, 8, 35), (13, 3, 79), (15, 8, 139), (15, 11, 131), (17, 7, 169), (20, 6, 209), (20, 14, 239), (21, 5, 209), (27, 8, 379), (28, 2, 209), (29, 16, 521)...$
Gracias de antemano!
Un truco es reducir a una ecuación de Pell-como. Teniendo en cuenta,
$$ab(a+b)(a-b)=c^2-1\tag{1}$$
(1) se cumple si,
$$\begin{aligned}a &= p+5q\\ b &= 2q\\ c &= -1+4pq+28q^2\end{alineados} $$
y,
$$p^2-41q^2 = -4$$
Una solución del número entero es $p,q = 64, 10$ y más infinito. Espero que usted puede tomar desde aquí.
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