Supongamos que $R$ es un anillo con $p$ nilpotente en él. ¿Podemos trivializar cada módulo proyectivo sobre $W(R)$ fpqc-localmente en $R$ ? en caso de que no sea cierto ¿puede dar un contraejemplo?
Me refiero a que para un módulo proyectivo dado $P$ en $W(R)$ si hay un anillo $R'$ fielmente plana sobre $R$ tal que $P\otimes W(R')$ es un programa gratuito $W(R')$ ¿módulo?
No estoy seguro de que esto sea cierto pero lo escribo aquí para ver si tiene un error:
primer paso: si $R$ es prefecto y $P$ es trivial en $D(f)$ donde $f=a_0+pa_1+p^2a_2+\ldots\in W(R)$ entonces $P$ sería trivial en $W(R_{a_0})$
segundo paso: si $pR=0$ entonces por el primer paso se puede trivializar $P$ zariski localmente en $R^{perf}$ y el mapa $R\to R^{perf}$ es en sí mismo fpqc así que ganamos. Creo que por un argumento de límite estándar también se puede hacer este fppf localmente.
tercer paso: para un anillo $R$ tal que $p^n R=0$ utilizar la desaparición del complejo cotangente de $R\to R^{perf}$ y la teoría de la deformación para demostrar la afirmación
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