Dejemos que $f:X\rightarrow Y$ sea un mapa holomorfo no constante entre superficies compcat riemann, necesitamos demostrar $f^{-1}(y),\forall y\in Y$ es un subconjunto finito y discreto de $X$ .
¿Y si $X$ y $Y$ ¿son no compactas?
Bueno, $f$ está en claro, y entiendo de alguna manera que necesito usar la grasa que $Zeros$ de $f$ es un conjunto discreto, pero no soy capaz de escribir rigurosamente la respuesta.
A) Si $X$ y $Y$ no son compactas, no está claro que $f$ es onto ya que es falso: piense en la inclusión de un disco en $\mathbb C$ .
b) Tampoco es cierto que las fibras $f^{-1}(y)$ son finitos: piense en la función senoidal $\sin:\mathbb C\to \mathbb C$ con $\sin^{-1}(0)=\pi \mathbb Z$ un conjunto infinito.
c) Sin embargo, es cierto que las fibras $f^{-1}(y)\; (y\in Y)$ son subconjuntos cerrados discretos de $X$ : el cierre se desprende de la continuidad de $f$ y la discreción se puede comprobar localmente en los puntos de $x\in X$ .
Esto significa que para comprobarlo se puede suponer que $X$ y $Y$ son discos que contienen el origen y que $x=0, f(x)=0$ .
Entonces puede invocar el resultado de que los ceros de las funciones holomorfas no constantes están aislados.
Voy a añadir un poco a la buena respuesta de George. Creo que la propiedad que buscas es la propiedad. Un mapa se llama propio si las imágenes inversas de subconjuntos compactos son de nuevo compactas. Como ha señalado georges, las fibras serán discretas y como un punto es claramente compacto, la fibra será discreta compacta, por tanto finita.
Cuando conocí este teorema en clase, el profesor lo dio para superficies compactas y mencionó su extensión al caso propio. Por lo tanto, creo que este es el enunciado más general del teorema.
Espero que eso ayude.
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