Dejemos que $P \in \mathbb{R}[X_1,\dots,X_n]$ sea un polinomio multivariante no constante con coeficientes reales. Considerémoslo como un mapa $P: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . ¿Es cierto que la medida de Lebesgue del conjunto $$P^{-1}(\{0\})$$ ¿es necesariamente de medida cero?
Respuesta
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Los polinomios son continuos, por lo que $P^{-1}(\{0\})$ es cerrado, y por tanto medible por Borel, a fortiori medible por Lebesgue.
Para $n = 1$ sabemos que el conjunto es finito (ya que asumimos $P$ no constante), y por tanto tiene medida de Lebesgue $0$ .
Siguiente asunción $n > 1$ y la afirmación es válida para todos los $Q \in \mathbb{R}[X_1,\dotsc,X_{n-1}]\setminus \{0\}$ . Ampliar $P$ por los poderes de $X_n$ podemos escribir
$$P(X_1,\dotsc,X_n) = \sum_{k = 0}^m Q_k(X_1,\dotsc,X_{n-1})\cdot X_n^k.$$
Desde $P$ no es el polinomio cero, no todos $Q_k$ puede ser el polinomio cero, y podemos elegir $m$ para que $Q_m \not\equiv 0$ . Por la hipótesis de inducción, $Q_m^{-1}(\{0\})$ es un conjunto nulo en $\mathbb{R}^{n-1}$ y por lo tanto
\begin{align} \lambda^n(P^{-1}(\{0\}) &= \int_{\mathbb{R}^n} \chi_{P^{-1}(\{0\})}(x)\,d\lambda^n(x) \\ &= \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_{\mathbb{R}} \chi_{P^{-1}(\{0\})}(y,t)\,d\lambda(t)\,d\lambda^{n-1}(y) \\ &= \int_{\mathbb{R}^{n-1}\setminus Q_m^{-1}(\{0\})} \int_{\mathbb{R}} \chi_{P^{-1}(\{0\})}(y,t)\,d\lambda(t)\,d\lambda^{n-1}(y) \\ &= \int_{\mathbb{R}^{n-1}\setminus Q_m^{-1}(\{0\})} 0\,d\lambda^{n-1}(y) \\ &= 0, \end{align}
ya que para todo $y \in \mathbb{R}^{n-1}\setminus Q_m^{-1}(\{0\})$ sólo hay un número finito de $t$ tal que $P(y_1,\dotsc, y_{n-1},t) = 0$ .
