Serie $\sum^{\infty}_{k=1}a_k$ y $\sum^{\infty}_{k=1}b_k$ convergen pero $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{b_k}{a_k}$ diverge

Question

EDIT: Hay muchos ejemplos buenos y sencillos para probar aquí, pero quiero entender esta "pista" que se da a continuación, por opaca que sea.

Estoy trabajando en una prueba de existencia que muestra dos series $\sum^{\infty}_{k=1}a_k$ y $\sum^{\infty}_{k=1}b_k$ convergen pero $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{b_k}{a_k}$ diverge.

Así que necesito $\forall M \in \mathbb{R}$ con $M >0$ $\exists$ $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall k \gt N$ tenemos $\frac{b_k}{a_k} \gt M$ .

Mi sugerencia es construir una secuencia creciente $(N_j)$ tal que $\sum^{\infty}_{k=N_j}a_k \leq \frac{1}{j^3}$ y dejar que $b_k = ja_k$ para $Nj \leq k \leq N_{j+1}$ .

Bien. Entonces la secuencia (a_k) se puede descomponer en bloques, con $\{a_1 + a_2 + ... + a_{N_1-1}\}$ menos de alguna M, y los bloques posteriores menos de $\frac{1}{j^3}$ . Así que tenemos una forma de estimar la suma: $\sum^{\infty}_{k=1}a_k \leq M + \sum^{\infty}_{j+1}\frac{1}{j^3}$ .

Estoy desconcertado porque no consigo entender cómo se relaciona esta información sobre las sumas con la convergencia de $\frac{b_k}{a_k}$ a menos que haya alguna prueba en la que no estoy pensando. He pensado en construir secuencias a partir de las sumas parciales, pero eso parece estar contraindicado por el enunciado de la pregunta.

Se agradece la orientación.

Answer 1

Un ejemplo en el que ambos $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}$ divergir sería

$$a_n = \frac{1}{n^2}\sin \left(\frac{n}{2}\right),\ b_n = \frac{1}{n^2}\sin\left(n\right)$$

Answer 2

La pista dada no me parece especialmente útil. En cambio, piénsalo de la siguiente manera: si fuera cierto, eso implicaría que siempre que $\sum a_n$ y $\sum b_n$ convergen, el cociente $a_n/b_n$ tiene un límite no nulo.

Esto es demasiado fuerte para ser verdad: Como en el comentario de Martin R., tome dos ejemplos cualesquiera de series convergentes, digamos $$\sum _{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n}, \quad \sum _{n = 1}^\infty \frac{1}{3^n}$$ o $$\sum _{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2}, \quad \sum _{n = 1}^\infty \frac{1}{n^3}$$ Hay muchos contraejemplos.

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La pista permite mostrar que para todo convergente $\sum a_k$ con $a_k > 0$ existe una serie convergente $\sum b_k$ tal que $a_k/b_k$ diverge. De hecho:

$$\begin{align*} \sum_{k = 1}^\infty b_k & = \sum_{j = 1}^\infty \sum_{k=N_j}^{N_{j+1}-1} b_k \\ & = \sum_{j = 1}^\infty j \sum_{k=N_j}^{N_{j+1}-1} a_k \\ & \leq \sum_{j = 1}^\infty j \cdot \frac{1}{j^3} \\ & < \infty \end{align*}$$ mientras que nosotros tenemos $$\frac{b_k}{a_k}\geq j$$ para $k \geq N_j$ para que $\frac{b_k}{a_k} \to \infty$ .

Answer 3

Dejemos que $\sum a_i$ sea una serie convergente y que $a_i\not=0$ . Sea $b_i=a_i$ . Entonces $\sum b_i$ también es una serie convergente y $\frac{a_i}{b_i}=1$ . Así que contraejemplo.