La imagen muestra una nave espacial en aceleración con dos relojes en su interior. Está tan lejos de todos los demás cuerpos que la gravedad no tiene importancia.
¿El reloj de abajo será más lento que el de arriba? ¿O ambos relojes tendrán la misma velocidad?
El reloj inferior funcionará más lento que el superior.
La forma más sencilla de explicarlo es apelar al principio de equivalencia. Éste nos dice que localmente una aceleración es equivalente a un campo gravitatorio. Así que si el cohete se acelera con alguna aceleración $a$ esto equivale a dos relojes parados en una aceleración gravitacional $a$ .
Podemos usar esto para calcular el dilatación gravitacional del tiempo entre los relojes porque en una primera aproximación la dilatación relativa del tiempo viene dada por:
$$ \frac{\Delta t_{top}}{\Delta t_{bottom}} = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \frac{2 \Delta\Phi}{c^2}}} $$
donde $\Delta t_{top}$ es el intervalo de tiempo medido por el reloj superior, $\Delta t_{bottom}$ es el intervalo de tiempo medido por el reloj inferior y $\Delta\Phi$ es la diferencia del potencial gravitatorio newtoniano. Si la distancia entre los relojes es $h$ entonces la diferencia de potencial es simplemente:
$$ \Delta\Phi = ah $$
Así que..:
$$ \frac{\Delta t_{top}}{\Delta t_{bottom}} = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \frac{2ah}{c^2}}} $$
Hagamos este cálculo para una aceleración de $1g$ y una longitud de cohete de $100$ m. Estamos tomando la dirección hacia arriba como positiva, lo que significa que la aceleración es negativa porque apunta hacia abajo. El tiempo relativo es:
$$\begin{align} \frac{\Delta t_{top}}{\Delta t_{bottom}} &= \frac{1}{\sqrt{ 1 + \frac{2 \times -9.81 \times 100}{c^2}}} \\ &= 1.00000000000001 \end{align}$$
La relación es posiblemente mejor escrita como $1 + 10^{-14}$ es decir, hay trece ceros después del punto decimal. Se trata de un efecto extraordinariamente pequeño, pero se puede medir. De hecho, fue medido por el Experimento Pound-Rebka .
Sé que no debemos hacer esto, así que los moderadores pueden borrar esto si lo desean, pero de todos modos; ¡gracias por una respuesta absolutamente extraordinaria! Nunca me había molestado en pensar en el experimento de Pound-Rebka, a pesar de haber oído hablar de él a menudo, sin embargo lo motivas tan bien. ¡Tal vez lo estudie (en detalle) después de todo!
@John Rennie: Que yo sepa, el valor de la aceleración gravitatoria difiere según la altitud: La gravedad disminuye con la altitud a medida que uno se eleva por encima de la superficie terrestre porque una mayor altitud significa una mayor distancia del centro de la Tierra". . Por lo tanto, los relojes en el campo gravitatorio experimentan diferentes aceleraciones en función de la altitud. En el caso del cohete, si lo consideramos un cuerpo rígido, la aceleración es exactamente la misma en toda su longitud. ¿No cree que esto supone una diferencia?
@brightmagus: la diferencia se reduce (en la aproximación del campo débil) al cambio en $\Phi$ . El cambio en $\Phi$ es diferente en campos uniformes y no uniformes por lo que la dilatación del tiempo por metro de separación vertical será diferente. Pero siempre que se calcule $\Phi$ correctamente obtendrás el valor correcto de la dilatación del tiempo.
Contrariamente a una de las respuestas dadas, si la distancia entre los relojes, observada por cualquiera de ellos, permanece constante, los dos relojes no puede tienen el mismo adecuado aceleración (la aceleración según un acelerómetro acoplado al reloj); el reloj "de atrás" tendrá una mayor aceleración propia y, por tanto, funcionará más lentamente que el reloj "de delante". Este es un resultado bien conocido y no controvertido. Véase, por ejemplo, Coordenadas de Rindler
Si ambos relojes tienen el mismo aceleración adecuada, los relojes funcionarán a la misma velocidad, pero la distancia entre los relojes, según cualquiera de ellos, aumentará; el cohete tendría que estirarse necesariamente.
Del artículo enlazado anteriormente:
Se deduce que si una varilla es acelerada por alguna fuerza externa aplicada en cualquier parte de su longitud, los elementos de la materia en diferentes no pueden sentir todos la misma magnitud de aceleración para que la varilla no se extienda sin límites y acabe por romperse.
De nuevo, hasta donde yo sé, esto no es controvertido y es bastante fácil de demostrar.
Como siempre, un diagrama de espacio-tiempo es útil:
Se han trazado porciones de las líneas del mundo de dos relojes con adecuado aceleración a la derecha.
Cuando el tiempo de coordenadas es cero, ambos relojes están (momentáneamente) en reposo en este marco y ambos relojes están (momentáneamente) sincronizados con el tiempo de coordenadas, es decir, ambos relojes acelerados leen cero cuando el tiempo de coordenadas es cero.
Ahora, de acuerdo con cualquiera de los dos relojes la distancia entre los dos relojes es constante (ambos relojes tienen constante Coordenada espacial de Rindler).
Pero, el acelerómetro del reloj A mide una aceleración mayor que el acelerómetro del reloj B. Esto es claramente evidente dado que la curvatura de la línea del mundo del reloj A es mayor.
Y, efectivamente, vemos que el reloj A funciona más lentamente que el reloj B.
Para resumir estos resultados en relación con la pregunta del PO, implícito en la pregunta es la suposición de que, según cualquiera de los relojes dentro del cohete, la distancia entre los relojes es constante .
Lo que se ha demostrado es que
(1) si la distancia entre los relojes, según cualquiera de ellos, es constante
(2) y si los relojes se aceleran uniformemente según los acelerómetros colocados en cada reloj
(3) entonces los dos acelerómetros debe leer diferentes aceleraciones.
Este es un resultado directo de SR. Que esto sea, de hecho, la descripción correcta del mundo es, por supuesto, una cuestión de experimento. Pero , lo que SR predice es inequívoca.
Una última nota: una vez que se introduce la aceleración en la RS, hay que tener especial cuidado con los conceptos de aceleración y distancia.
Por ejemplo, hay adecuado aceleración, una aceleración invariable y coordenadas aceleración que depende del marco. Mientras que puede haber uniformidad adecuado aceleración, uniforme coordenadas la aceleración es imposible.
Además, existen diferentes nociones de distancia entre observadores con aceleración propia uniforme. Existen, por ejemplo, las nociones de regla distancia y radar distancia.
Por lo tanto, cuando se piensa claramente en un experimento mental de aceleración en la RS, hay que tener cuidado de especificar inequívocamente el problema.
Por ejemplo, si se dice que dos relojes tienen el mismo aceleración, no está claro si se quiere decir la misma aceleración propia o la misma aceleración de coordenadas. La respuesta que se obtiene de la SR crucialmente depende de la diferencia.
No hace mucho tiempo era "incontrovertible" aquí que se pueden considerar las aceleraciones en SR. Pero entonces señalé que esto se conseguía mediante un truco por el que dos fotogramas estaban congelados en el tiempo, y sin embargo experimentaban velocidad (lo que requiere flujo temporal). Buen intento... (O no hace mucho los agujeros negros eran -casi- incontrovertibles. Y luego vino Hawking - de nuevo - y dijo que en realidad son ... grises)
Y por cierto. ¿Has calculado esta diferencia de aceleraciones? ¿Es la misma que muestra "la tercera" respuesta aquí? ¿Coincide -por alguna razón- con la diferencia de potenciales gravitatorios?
Debe ser consciente de este ? (Enlace del enlace de Rindler): "La distancia entre las naves espaciales no sufre contracción de Lorentz respecto a la distancia de partida, porque en S está efectivamente definida para permanecer igual". Esto es realmente genial. Sólo porque la distancia está "definida" para seguir siendo la misma debe seguir siendo la misma. ¿Qué pasaría si produjéramos un cohete que pareciera dos cohetes conectados con una cuerda pero con conexión permanente? ¿La conexión no se rompería entonces? ¿Cómo sabe la conexión si es una parte permanente de...
El reloj que va por delante está retrasado en el tiempo en una cantidad que depende de la velocidad del marco de referencia inercial en el que se encuentran. Si la aceleración se considera como un movimiento a través de marcos de referencia inerciales cada vez más rápidos, entonces la cantidad de retraso en el tiempo del reloj que va por delante aumenta a medida que aumenta la velocidad de los marcos inerciales.
Si consideras que tu cohete es un cuerpo rígido*, entonces en todo momento todos los puntos sobre y dentro de él experimentarán exactamente la misma aceleración. Por lo tanto, no hay ninguna diferencia entre los dos relojes que pueda ser la fuente de la diferencia de las velocidades de estos relojes.
Aquí no hay dilatación del tiempo debido al principio de equivalencia que dice que la aceleración es equivalente a la aceleración, ya que ambos relojes experimentan exactamente la misma aceleración. Dilatación del tiempo gravitacional resultados de la diferencia de aceleraciones debida a la diferencia de potenciales gravitatorios entre las ubicaciones de los relojes. La distancia de separación entre los dos relojes en la nave espacial no implica ninguna diferencia en las aceleraciones debido a la diferente distancia al "centro de aceleración". Pueden tratarse como dos relojes separados por la distancia en la Tierra, pero situados exactamente a la misma altitud y, por tanto, experimentando exactamente la misma aceleración gravitatoria $g$ (que difiere según la altitud). Por lo tanto, las velocidades de los relojes serán exactamente las mismas .
*Dije "si ...", pero Alfred Centauri opuso en su comentario que nada puede ser transmitido instantáneamente, por lo que debe haber algunas diferencias en las aceleraciones. Bueno ... sí, cierto ... Pero entonces, vamos a pensar en ello por un momento ...
Digamos que estamos aplicando la aceleración $a$ a la parte más baja del cohete. Si la nave espacial no es perfectamente rígida, la aceleración irá aumentando (durante un breve momento, o menos) en todo su cuerpo, pero finalmente la parte superior alcanzará la aceleración inicial $a$ . A partir de este momento, los átomos de todo el cuerpo transmitirán el valor inicial de la aceleración hasta la cima. Se puede decir que esta transmisión será "tardía", es decir, que en un instante dado los átomos más cercanos a la parte superior estarán transmitiendo la aceleración que los átomos más cercanos a la parte inferior han experimentado una fracción de segundo antes. Claro, pero aun así, no importa en absoluto, porque el valor de la aceleración será uniforme en todo momento mientras la aceleración aplicada en la parte inferior sea constante. "Aceleración "tardía $a$ sigue siendo la aceleración $a$ . Por lo tanto - seguro por un breve momento hasta que todo el cohete recibe la aceleración $a$ - todo el cohete experimenta exactamente la misma aceleración . (Así que volvemos a estar como al principio: no hay dilatación del tiempo entre los relojes del cohete).
Una última nota: si alguien afirma que hay fenómenos diferentes debido a la aceleración en la RS, y que por tanto las aceleraciones en toda la nave espacial difieren, hay que recordar que la RS supone marcos inerciales. Sin embargo, se afirma que se puede demostrar que las aceleraciones son fácilmente manejadas por la RS. Pues bien, he demostrado en mi respuesta aquí como se está logrando a través de un mero trineo de mano.
Si alguien sigue sin estar convencido, le recordaré que la RS dice que dentro del marco móvil no se muestran cambios debidos a la velocidad. Que todos los fenómenos "extraños" son visibles sólo por el observador externo - a través de la comparación. Y aquí voy a oír la objeción de que esta afirmación se refiere sólo a los marcos inerciales. Claro que sí - y también toda la Relatividad Especial. Lo que nos lleva de vuelta al enlace anterior donde mostré que uno no puede derivar ecuaciones para la RS sólo para descartar los axiomas en los que estas ecuaciones están arraigadas.
Por tanto, no es que la RS afirme ciertas cosas sobre la aceleración. Es simplemente que ciertas personas afirman que la RS afirma estas cosas.
Efectivamente, pero como has dado dos explicaciones diferentes, y una de ellas es errónea, algunos de los argumentos son erróneos. Esto es porque los argumentos no se explican, sólo se presentan como hechos.
Tú afirmas que es sólo el no hay ninguna diferencia de potencial gravitacional, mientras que @John Rennie dice que sí la hay. Por eso tienes dos respuestas diferentes. ¿Por qué crees que no hay diferencia de potencial gravitatorio?
La diferencia de potencial gravitatorio significa una diferencia de aceleración. Cuanto más lejos estés del centro de gravitación, menor será la aceleración debida a esta gravitación (ver el enlace a Wikipedia en mi respuesta). Mira la ecuación de Newton: $g$ depende de $r$ (distancia). Ahora, si consideramos que el cohete es un cuerpo rígido, la aceleración es exactamente la misma en todos los puntos (salvo algunos tramos momentáneos al principio). Todo el cohete acelera exactamente el mismo valor. De lo contrario, se destrozaría. Por lo tanto, no hay diferencia en el "potencial gravitatorio".
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@lota Vi un video que explicaba la teoría de la relatividad, y uno de los ejemplos era este. Decía que el reloj de abajo sería más lento que el de arriba. Sin embargo, he leído que la ralentización del tiempo se debe a la cantidad de gravitación. Cuanto más bajo estés en un campo gravitatorio, más lento pasa el tiempo. ¿Esto se debe a que cuanto más bajo se está en el campo gravitatorio, más fuerte es la gravitación?