Anillo de cocientes de enteros gaussianos

Question

Una pregunta muy básica de teoría de anillos, que no soy capaz de resolver. ¿Cómo se demuestra que

• $\mathbb{Z}[i]/(3-i) \cong \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ .

• Ampliando el resultado: $\mathbb{Z}[i]/(a-ib) \cong \mathbb{Z}/(a^{2}+b^{2})\mathbb{Z}$ , si $a,b$ son relativamente primos.

Mi intento fue definir un mapa, $\varphi:\mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ y demostrar que el núcleo es el ideal generado por $\langle{3-i\rangle}$ . Pero no se me ocurrió tal mapa. De todos modos, cualquier idea sería útil.

Answer 1

En general, se sabe que si $\alpha$ es un número entero en el campo numérico $K$ entonces $$ {\rm N}_{K/{\Bbb Q}}(\alpha)=\left|\frac{A}{A\alpha}\right| $$ Ici $\rm N$ es la norma y $A$ denota el anillo de enteros. En la situación de la pregunta, $A={\Bbb Z}[i]$ es el anillo de enteros de Gauss y como $K$ es cuadrática imaginaria, ${\rm N}_{K/{\Bbb Q}}(\alpha)=\alpha\bar\alpha$ donde la barra denota la conjugación compleja.

Cuando $\alpha=3-i$ , ${\rm N}_{K/{\Bbb Q}}(\alpha)=(3-i)(3+i)=10$ Por lo tanto ${\Bbb Z}[i]/(3-i)$ es un anillo con 10 elementos, cuyos representantes son $$ \left\{0,1,2,i,i+1,i+2,2i,2i+1,2i+2,-1 \right\}. $$ Un minuto de reflexión y una breve inspección de estos representantes deberían convencer de que el anillo es efectivamente isomorfo al anillo de clases módulo 10.

Answer 2

Pregunta: "Ampliando el resultado: $Z[i]/(aib)Z/(a^2+b^2)Z$ , si $a,b$ son relativamente primos.

Respuesta: Dejemos que $a-ib:=1-(-3)i=1+3i$ y que $B:=\mathbb{Z}/(1+3^2)\cong\mathbb{Z}/(10)$ y que $A:=\mathbb{Z}[i]/(1+3i)$ . Este enfoque utiliza el lema del resto chino e ilustra la "factorización única de ideales" en productos de potencias de ideales máximos en dominios Dedekind: De ello se desprende que $-1 \cong 10-1 \cong 9$ de ahí que se obtenga un mapa bien definido

$$\phi: \mathbb{Z}[i] \rightarrow B$$

definiendo $\phi(a+bi):=a+3b$ . A continuación $$-1=\phi(-1)=\phi(i^2)=\phi(i)^2=3^2=9=10-1 =-1.$$

por lo que el mapa está bien definido. Por definición $\phi(1+3i)=1+3^2=10=0$ por lo que se obtiene un mapa suryectivo bien definido $\phi: A \rightarrow B$ .

Sur $A$ hay dos ideales $I:=(1+i),J:=(2+i)$ y

$$(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=1+3i=0.$$

Los ideales $I,J$ son coprimas, por lo que

$$A \cong A/IJ \cong A/I \oplus A/J \cong \mathbb{Z}/(2) \oplus \mathbb{Z}/(5)$$

y

$$\mathbb{Z}/(10) \cong \mathbb{Z}/(2) \oplus \mathbb{Z}/(5)$$

por el lema del resto chino. Hay isomorfismos explícitos

$$f:A/I\cong \mathbb{Z}[i]/(1+i) \cong \mathbb{Z}/(2)$$

definido por el envío de $i$ a $1$ .

Existe un isomorfismo

$$g:A/J \cong \mathbb{Z}[i]/(2+i) \cong \mathbb{Z}/(5)$$

definido por el envío de $i$ a $3$ . A continuación

$$g(1+i^2)=1+3^2=10=0$$

y

$$g(2+i)=2+3=5=0$$

por lo que $g$ está bien definida. Puede comprobar que $f,g$ son isomorfismos y deberías hacer esto como un ejercicio de "teoría de anillos conmutativos/álgebra abstracta".

Nota: Este es un hecho general: En el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ en un campo numérico $K$ cualquier ideal $\mathfrak{a}$ puede escribirse (de forma única hasta el orden) como un producto de potencias de ideales maximales distintos

$$(*) \mathfrak{a}=\mathfrak{m}_1^{p_1} \cdots \mathfrak{m}_l^{p_l}.$$

Los ideales anteriores $I,J$ son máximos ya que los cocientes $A/I,A/J$ son campos (finitos). La igualdad $(*)$ se demuestra en el Teorema I.3.3 de Neukirch "Teoría algebraica de los números" (esta propiedad fue, de hecho, una de las razones de la introducción de los ideales en la teoría algebraica de los números y el álgebra conmutativa). En el caso anterior las multiplicidades $l_I,l_J=1$ y se obtiene la descomposición

$$(1+3i)=IJ$$

en $\mathcal{O}_K\cong \mathbb{Z}[i]$ donde $K:=\mathbb{Q}(i)$ .

Pregunta: "Una pregunta muy básica de teoría de anillos, que no soy capaz de resolver. ¿Cómo se demuestra que $\mathbb{Z}[i]/(3i)\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ ?"

Ejemplo: Podemos utilizar el "mismo método": Hay una factorización en productos de ideales

$$(3-i)=(1-i)(2+i)=\mathfrak{m}\mathfrak{n}$$

y los ideales $\mathfrak{m},\mathfrak{n}$ son ideales máximos coprimos con campo de residuos finito. Hay por los isomorfismos CRL

$$\mathbb{Z}[i]/(3-i)\cong \mathbb{Z}[i]/\mathfrak{m}\oplus \mathbb{Z}[i]/\mathfrak{n} \cong \mathbb{Z}/(2)\oplus \mathbb{Z}/(5) \cong \mathbb{Z}/(10).$$

Como en el caso anterior, puedes escribir mapas explícitos y verificar que son isomorfismos.