Anillo de cocientes de enteros gaussianos

Question

Una pregunta muy básica de teoría de anillos, que no soy capaz de resolver. ¿Cómo se demuestra que

• $\mathbb{Z}[i]/(3-i) \cong \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ .

• Ampliando el resultado: $\mathbb{Z}[i]/(a-ib) \cong \mathbb{Z}/(a^{2}+b^{2})\mathbb{Z}$ , si $a,b$ son relativamente primos.

Mi intento fue definir un mapa, $\varphi:\mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ y demostrar que el núcleo es el ideal generado por $\langle{3-i\rangle}$ . Pero no se me ocurrió tal mapa. De todos modos, cualquier idea sería útil.

Answer 1

Definir $$\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}[i]/(3-i) \text{ where } \phi(z) = z + (3-i)\mathbb{Z}[i].$$ De ello se desprende simplemente que $\ker \phi = (3-i)\mathbb{Z}[i] \cap \mathbb{Z}$ . Así que para cualquier $z \in \ker \phi$ tenemos $z = (3-i)(a+bi)$ para algunos $a,b \in \mathbb{Z}$ . Pero $(3-i)(a+bi) \in \mathbb{Z}$ ocurre si y sólo si $3b-a=0$ . Así que $$\begin{align*} \ker \phi = (3-i)\mathbb{Z}[i] \cap \mathbb{Z} &= \{(3-i)(3b+bi)\mid b \in \mathbb{Z}\}\\ &= \{(9b + b) + i(3b-3b)\mid b \in \mathbb{Z}\}\\ &= \{10b\mid b \in \mathbb{Z}\}\\ &= 10\mathbb{Z}. \end{align*}$$

Para ver $\phi$ es suryente, sea $(a+bi) + (3-i)\mathbb{Z}[i] \in \mathbb{Z}[i]/(3-i)$ . Entonces $a+bi=a+3b-3b+bi=(a+3b)-b(3-i)$ Así que $\phi(a+3b) = (a+bi) + (3-i)\mathbb{Z}[i]$ .

Por lo tanto, $\mathbb{Z}[i]/(3-i) \cong \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ .

Answer 2

Este diagrama muestra los enteros gaussianos módulo $3-i$ .

Los puntos rojos mostrados se consideran todos $0$ pero sus ubicaciones en $\mathbb Z[i]$ son $0$ , $3-i$ , $i(3-i)$ et $3-i + i(3-i)$ . Cada clase de congruencia debe estar dentro de esa caja una vez y puedes ver que hay $10$ de ellos.

Las flechas muestran la adición por $1$ cada vez. Haciendo esto se pasa por cada clase de equivalencia y luego se vuelve al principio.

Así que $\mathbb{Z}[i]/(3-i) \cong \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ .

Answer 3

En primer lugar: no es cierto en general que $\mathbb Z[i]/(a - ib) \cong \mathbb Z/(a^2 + b^2).$ (Considere el caso de $3 - 0\cdot i$ .)

El isomorfismo reivindicado hace mantener si $a$ et $b$ son coprimos.

He aquí un esquema de cómo ver esto:

Para empezar, hay que tener en cuenta que es mucho más fácil considerar los mapas de $\mathbb Z$ a otros anillos, en lugar de mapas en la dirección opuesta (como sugirió en su respuesta), porque $\mathbb Z$ mapas a cualquier anillo con la unidad de forma canónica, enviando $1$ a $1$ .

Así pues, consideremos el mapa canónico $\mathbb Z \to \mathbb Z[i]/(a - i b).$

El objetivo es finito de orden $a^2 + b^2$ y, por tanto, este mapa es un factor que da una inyección $\mathbb Z/(n) \hookrightarrow \mathbb Z[i]/(a - i b)$ para algunos $n$ dividiendo $a^2 + b^2$ .

Ahora bien, si $a$ et $b$ son coprimos entonces $b$ es coprima de $a^2 + b^2$ por lo que es coprima de $n$ y así $b$ es invertible en $\mathbb Z/(n)$ . Combinando esta observación con la ecuación $a - i b = 0$ (que se mantiene en $\mathbb Z[i]/(a - i b)$ ) uno encuentra (¡y lo dejo como ejercicio!) que el mapa $\mathbb Z/(n) \hookrightarrow \mathbb Z[i]/(a - ib)$ contiene $i$ en su imagen, y por lo tanto es suryectiva además de inyectiva, y así hemos terminado.

Answer 4

Retrocede un paso y añade la ecuación de definición de $i$ al ideal. En otras palabras, considera tu anillo como un cociente del anillo de polinomios $\mathbb Z[x]$ :

$$ \mathbb Z[i] / (3-i) = \mathbb Z [x] / (3-x,x^2+1) $$

Manipulación del ideal $(3-x,x^2+1)$ un poco, descubrirá que el cociente es efectivamente igual a $\mathbb Z/10\mathbb Z$ .

Esto tiene sentido porque el establecimiento $i^2=-1$ et $i=3$ implica que $9 = -1$ lo que es cierto en $\mathbb Z/10\mathbb Z$ .

Answer 5

En este post, cito la solución a una pregunta relacionada de Artin, con la explicación anterior (Sección 11.4, p. 337-338). En realidad es lo mismo que la respuesta de Greg Graviton, pero me pareció muy útil el punto de vista diferente y la explicación elaborada. (Los impacientes pueden pasar directamente al ejemplo 11.4.5).

Añadir relaciones

Reinterpretamos la construcción del anillo de cociente cuando el ideal $I$ es principal, digamos $I = (a)$ . En esta situación, pensamos en $\overline R = R / I$ como el anillo obtenido al imponer la relación $a = 0$ en $R$ o matando el elemento $a$ . Por ejemplo, el campo $\mathbb F_7$ se considerará como el anillo obtenido al matar $7$ en el ring $\mathbb Z$ de números enteros.

Examinemos el colapso que se produce en el mapa $\pi: R \to \overline R$ . Su núcleo es el ideal $I$ Así que $a$ está en el núcleo: $\pi(a) = 0$ . Si $b$ es cualquier elemento de $R$ los elementos que tienen la misma imagen en $\overline R$ como $b$ son los del coset $b + I$ y como $I = (a)$ esos elementos tienen la forma $b+ra$ . Vemos que imponiendo la relación $a =0$ en el ring $R$ nos obliga a establecer $b = b + ra$ para todos $b$ y todos $r$ en $R$ y que estas son las únicas consecuencias de matar $a$ .

Cualquier número de relaciones $a_1 = 0, \ldots, a_n = 0$ puede ser introducido, trabajando en el módulo del ideal $I$ generado por $a_1, \ldots, a_n$ el conjunto de combinaciones lineales $r_1 a_1 + \cdots + r_n a_n$ con los coeficientes $r_i$ en $R$ . El anillo de cociente $\overline R = R/I$ se ve como el anillo que se obtiene al matar el $n$ elementos. Dos elementos $b$ et $b'$ de $R$ tienen la misma imagen en $\overline R$ si y sólo si $b'$ tiene la forma $b + r_1 a_1 + \cdots +r_n a_n$ con $r_i$ en $R$ .

Cuantas más relaciones añadamos, más se colapsará el mapa $\pi$ . Si añadimos las relaciones sin cuidado, lo peor que puede pasar es que acabemos con $I = R$ et $\overline R = 0$ . Todas las relaciones $a = 0$ se convierten en realidad cuando nos derrumbamos $R$ al anillo cero.

Aquí el Teorema de la Correspondencia afirma algo que es intuitivamente claro: introducir relaciones de una en una o todas juntas conduce a resultados isomórficos. Para explicar esto, dejemos que $a$ et $b$ sean elementos de un anillo $R$ y que $\overline R = R / (a)$ ser el resultado de matar $a$ en $R$ . Sea $\overline b$ sea el residuo de $b$ en $\overline R$ . El Teorema de la Correspondencia nos dice que el ideal principal $(\overline b)$ de $\overline R$ corresponde al ideal $(a,b)$ de $R$ y que $R/(a,b)$ es isomorfo a $\overline R / (\overline b)$ . Matar $a$ et $b$ en $R$ al mismo tiempo da el mismo resultado que matar $\overline b$ en el ring $\overline R$ que se obtiene al matar $a$ primero.

Ejemplo 11.4.5. Pedimos que se identifique el anillo de cociente $\overline R = \mathbb Z[i]/(i-2)$ el anillo obtenido a partir de los enteros de Gauss introduciendo la relación $i-2=0$ . En lugar de analizarlo directamente, observamos que el núcleo del mapa $\mathbb Z[x] \to \mathbb Z[i]$ enviando $x \mapsto i$ es el ideal principal de $\mathbb Z[x]$ generado por $f = x^2 + 1$ . El Primer Teorema del Isomorfismo nos dice que $\mathbb Z[x]/(f) \approx \mathbb Z[i]$ . La imagen de $g = x-2$ es $i-2$ Así que $\overline R$ también se puede obtener introduciendo las dos relaciones $f = 0$ et $g = 0$ en el anillo de polinomios enteros. Sea $I = (f,g)$ sea el ideal de $\mathbb Z[x]$ generado por los dos polinomios $f$ et $g$ . Entonces $\overline R =\mathbb Z[x]/I$ .

Para formar $\overline R$ podemos introducir las dos relaciones en el orden inverso, primero matando $g$ y luego $f$ . El principal ideal $(g)$ de $\mathbb Z[x]$ es el núcleo del homomorfismo $\mathbb Z[x] \to \mathbb Z$ que envía $x \mapsto 2$ . Así que cuando matamos $x-2$ en $\mathbb Z[x]$ obtenemos un anillo isomorfo a $\mathbb Z$ en el que el residuo de $x$ es $2$ . Entonces el residuo de $f = x^2+1$ se convierte en $5$ . Así que también podemos obtener $\overline R$ matando $5$ en $\mathbb Z$ y por lo tanto $\overline R \approx \mathbb F_5$ .