¿Por qué la planitud implica que estos Homs son isomorfos?

Question

Acabo de encontrar un razonamiento que supongo que es estándar pero que no me resulta familiar. ¿Conoces una prueba o una referencia estándar?

Entorno: Supongamos que $R\rightarrow S$ es un mapa de anillos unitales conmutativos, y $M,U$ son $R$ -módulos y $N$ un $S$ -módulo. Tenemos un mapa natural $$ \operatorname{Hom}_R(U,M)\otimes N \rightarrow \operatorname{Hom}_S(U\otimes S, M\otimes N)$$ dado por $f\otimes n \mapsto f\otimes (1\mapsto n)$ con $f\in \operatorname{Hom}_R(U,M), n\in N$ . (Todos los productos tensoriales se toman sobre $R$ .)

Pregunta: si $N$ es plano como un $R$ -módulo, ¿es este mapa siempre un isomorfismo. Si es así, ¿por qué?

Esto aparece en la página 13 del libro de Bruns y Herzog Anillos Cohen-Macaulay de 1993. En este contexto, hay varios otros supuestos que supuse que eran ajenos a este punto en particular, pero me encantaría saber lo contrario. Son: (1) $R,S$ son anillos locales noetherianos; (2) $M,N$ son módulos finitos sobre $R,S$ respectivamente; y (3) $U$ es el campo de residuos de $R$ .

Answer 1

El lado derecho es, por tanto, el siguiente $\text{Hom}_R(U, M \otimes_R N)$ así que concentrémonos en eso. Obsérvese que esto significa que la pregunta ya no tiene nada que ver con $S$ .

Una forma de interpretar la pregunta es que está preguntando cuándo $(-) \otimes_R N$ preserva un functor que se comporta como un límite, a saber $\text{Hom}_R(U, -)$ (pensar en este functor como un límite recoge una presentación de $U$ ). Ahora, el tensado con módulos planos preserva los límites finitos, y no es difícil demostrar desde aquí que el mapa natural es un isomorfismo siempre que $U$ está generada finitamente y $N$ es plana. Argumentando dualmente también se obtiene un isomorfismo siempre que $N$ está generada finitamente y $U$ es proyectiva.

Para un contraejemplo de tener un isomorfismo en el nivel de generalidad solicitado, tome $R = \mathbb{Z}, U = \mathbb{Q}, M = \mathbb{Z}, N = \mathbb{Q}$ . Obsérvese aquí que ni $U$ ni $N$ está generada finitamente. El problema es que aunque $N$ es plana, esto sólo garantiza que $(-) \otimes N$ preserva los límites finitos, y $\text{Hom}(\mathbb{Q}, -)$ es un límite infinito.