Una paradoja sobre espacios de Hilbert y sus duales

Question

Estoy haciendo algunos primaria errores aquí. Podría usted por favor me ayude a señalar los problemas? Muchas gracias!

Supongamos que en una parte del espacio de $H$ tenemos dos interior de los productos, que hacen de $H$ después de la finalización de los dos reales espacios de Hilbert. Supongamos que estos dos interior de los productos son comparables:

$$ (f,f)_1 \le (f,f)_2,\quad \forall f\en H. $$

Indicar estos dos espacios de Hilbert por $H_1$$H_2$. Es claro que

$$ H_2 \subseteq H_1. $$

Deje $H_1'$ $H_2'$ ser el doble de los espacios de $H_1$$H_2$, respectivamente. También son espacios de Hilbert. Darse cuenta de que el hecho de que

$$ ||u||_{H_i'} = \sup_{(x,x)_i \le 1} |u(x)|,\qquad i=1,2, $$

tenemos que

$$ H_1' \subseteq H_2'\:. $$

De ser espacios de Hilbert, $H_i \cong H_i'$ (es decir, $H_i$ es isomorfo a $H_i'$). Desde los espacios de Hilbert son reales, podemos identificar a $H_i'$$H_i$. Los dos inclusiones implica que

$$ H_1 = H_2 , $$

que no puede ser cierto en general. Lo que está mal en mis argumentos? Muchas gracias por tu gran ayuda! :-)

Anand

Answer 1

Una pregunta clave aquí es "Lo que precisamente no $H_2\subseteq H_1$ media"? Vamos a empezar con el mapa de identidad en el pre-espacio de Hilbert $H$: $$\text{id}:(H,(\cdot,\cdot)_2)\to (H,(\cdot,\cdot)_1).$$ donde suponemos que, para todos los $h\in H$,$(h,h)_1\leq (h,h)_2$. Este mapa de elevaciones de forma exclusiva a las terminaciones $$i: H_2\to H_1.$$ Es a menudo pasado por alto, sin embargo, que el mapa resultante $i$ no puede ser inyectiva. El mapa de $i$ es inyectiva si y sólo si el bilineal forma $((h,h)_2, H)$ es se pude cerrar en $H_1$.

Supongamos que $i$ es inyectiva para que realmente podamos pensar elementos de $H_2$ como también perteneciente a $H_1$. Debemos considerar $H_2\subseteq H_1$ como abreviación $i:H_2\to H_1$.

Ahora $i$ es lineal en el mapa, y el doble mapa da $i^\prime:H_1^\prime\to H_2^\prime$. Esto le da un significado preciso a $H_1^\prime\subseteq H_2^\prime$. La combinación de esta con Riesz representaciones en $H_1$$H_2$, podemos escribir $$H_1\desbordado{j}{\rightarrow} H_1^\prime \desbordado{i^\prime}{\rightarrow} H_2^\prime \desbordado{k}{\rightarrow} H_2.$$ Creo que esto es lo que entendemos por $H_1\subseteq H_2$.

En resumen, todas las paradojas desaparecer cuando se mantenga cuidado seguimiento de las asignaciones de los involucrados.