Polinomio de grado superior con raíces complejas

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

$$ r^4 - 3r^2 -4r = 0 $$

Factorizo un $r$ y me queda $ r(r^3 - 3r -4) = 0 $. Una raíz real es $r=0$, y no puedo encontrar las otras. Intenté usar la división sintética pero no ayudó. Intenté buscar en Google problemas de división sintética con raíces complejas, pero todos los videos usan ejemplos que tienen una solución compleja para poder resolver las otras raíces. Entonces, ¿cuál podría ser un buen enfoque en este problema?

Answer 1

Pista. Aplicando la fórmula de Cardano (ver el enlace de arriba) a la ecuación reducida $$ r^3 - 3r -4=0, $$ se obtiene la raíz real

$$ r_1=\left(2-\sqrt{3}\right)^{1/3}+\left(2+\sqrt{3}\right)^{1/3} $$

y las dos raíces complejas

$$ r_{2}^{\pm}=-\frac12 \left(2- \sqrt{3}\right)^{1/3} \left(1\pm i \sqrt{3}\right)-\frac{1}{2} \left(2+\sqrt{3}\right)^{1/3}\left(1\mp i \sqrt{3}\right) . $$