$\sum 2^{-n} P_n$ de los operadores lineales acotados siempre está acotado?

Question

Tengo un espacio de Banach X y una secuencia infinita de operadores lineales acotados $P_n$ tal que para cada uno de ellos existe $x_n$ tal que $$ ||P_n(x_n)||=2^{2n}||x_n|| $$

Estos elementos $x_n$ convergen a cero. ¿Cuál es la norma del operador lineal $$ Q=\sum^\infty 2^{-n} P_n $$ ?

Porque hay una muy buena razón para pensar que es continuo. Hay una norma un poco extraña para estos operadores en la que

$$ Q_N=\sum^N 2^{-n} P_n $$

es una secuencia de Cauchy y creo que esta norma es completa. Pero entonces puedo demostrar que Q es continua, lo que significa que si hay alguna $y_n\in X$ que convergen a y, entonces

$$ ||Q y_n - Qy||\leq ||Q y_n -Q_N y_n|| + ||Q_N y_n - Q_N y|| + ||Q_N y - Q y||$$ y los tres convergen a cero.

Pero el problema es que el operador está acotado si es continuo.

¿Alguna pista?

Answer 1

En general $Q$ ni siquiera está bien definida. De hecho, considere $P_n$ definido por la igualdad $P_n(x)=2^{2n}x$ . Entonces $Q_N=(2^{N+1}-1)x$ y obviamente $Q(x)=\lim\limits_{n\to\infty}Q_N(x)$ no existe para ningún $x\in X$ .