Este es el Vakil 16.4 O a), el autoestudio.
Debemos demostrar que si $X_1$ et $X_2$ son universalmente cerradas $S$ -esquemas (lo que significa que sus mapas de estructura son mapas cerrados topológicamente y cualquier mapa de cambio de base es cerrado topológicamente), que su encolado a lo largo de subesquemas cerrados $Z_1$ et $Z_2$ también es universalmente cerrado.
El encolado a lo largo de subesquemas cerrados tiene como espacio topológico subyacente el encolado topológico de los espacios topológicos subyacentes de los esquemas individuales. Sus tallos son los habituales fuera del locus de encolado. Sea $Z$ estar en la imagen de cualquier subesquema cerrado en el encolado. Entonces, si $p \in X_1 \cap X_2$ el tallo en $p$ en el encolado viene dado por aquellos miembros de $\mathcal O_{X_1, p} \times \mathcal O_{X_2, p}$ que coinciden en $\mathcal O_{Z_1, p} \simeq \mathcal O_{Z_2, p}$ .
Puedo demostrar que ese mapa de estructura para el encolado es cerrado, pero demostrar que el cambio de base preserva esta cerrazón se me escapa. Vakil dice que, de hecho, este encolado no sólo es un coproducto fibrado, lo cual es evidente a partir de la construcción, sino que también es un diagrama fibrado. En particular, conmuta con el cambio de base. No puedo demostrar que esto sea cierto. Si el pullback en la categoría de esquemas tuviera un adjunto derecho que conociéramos, entonces podría demostrar el resultado, ya que entonces sé que el cambio de base conmutaría con los colímites, de los que este encolado es un ejemplo. Sin embargo, no creo que hayamos visto que exista tal adjunto derecho.
Preguntas: ¿existe tal unión a la derecha con el pullback en $Sch$ ? Si no es así, ¿cuál es la mejor manera de demostrar que el encolado conmuta con el cambio de base?
