Dejemos que $f$ sea una función integrable de Riemann no negativa sobre $[a,b]$ . Si $f$ es igual a cero excepto en un conjunto nulo, entonces $\int_a^b f = 0$
Dejemos que $A$ sea el conjunto nulo y $M=\sup\left\{f(x):x\in[a,b]\right\}$ .
Para cualquier $\epsilon>0$ existe una secuencia de intervalos $(I_k)$ tal que $A\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k$ et $\sum_{k=1}^\infty|I_k|<\epsilon$
Mi enfoque es de dos pasos.
Paso 1: Demostrar que existe un intervalo $I$ tal que $\{\bigcup_{k=N}^\infty I_N\} \cap A\subset I$ para algunos $N$
Paso 2: Después del paso 1, $f$ en $[a,b]\setminus I$ es un valor cero o distinto de cero, pero está cubierto por $I$ para algunos $K<N$ , lo que significa que esos valores no nulos pueden ser cubiertos por un número finito de intervalos. Por lo tanto, es fácil encontrar $\delta$ para que la suma de Riemann en este paso sea menor que $0.5\epsilon$ .
Para el paso 1,
considere $\frac{\epsilon}{2M}$ hay una secuencia de intervalos $(I_k)$ tal que $A\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k$ et $\sum_{k=1}^\infty|I_k|<\frac{\epsilon}{2M}$ .
Definir $I_k=[a_k,b_k]$ , supongamos que $I_k$ es en el orden que $\sup\{f(x):x\in I_k\}\le\sup\{f(x):x\in I_{k+1}\}$ , de lo contrario reordenamos la secuencia del intervalo.
Desde $A$ está acotado a partir de $a$ y $b$ , $\sup_{x\in[a,b]}A$ está bien definida, existe $x_N\in A$ y por lo tanto $x_N\in I_N$ para algunos $N$ tal que $x_N\gt \sup_{x\in[a,b]}A-\frac{\epsilon}{4M}$
Tenga en cuenta que $|I_N|\lt \frac{\epsilon}{2M}$ porque la suma infinita es menor que $\frac{\epsilon}{2M}$ Así que $a_N\gt sup_{x\in[a,b]}A-\frac{\epsilon}{2M}$ por lo que existe un intervalo $I$ tal que $I_N \cap A\subset I$ . Para $N+1$ , ya que $x_N\le \sup\{f(x):x\in I_N\}\le \sup\{f(x):x\in I_{N+1}\}$ existe $x\ge x_N \ge \sup_{x\in[a,b]}A-\frac{\epsilon}{2M}$ Así que de nuevo $I_{N+1} \cap A\subset I$ . Entonces, podemos hacer la inducción siguiendo el argumento de "N+1" y obtener $\{\bigcup_{k=N}^\infty I_N\} \cap A\subset I$ para algunos $N$ .
$|I|\lt \frac{\epsilon}{2M}$ por lo que la suma de Riemann en este intervalo es menor que $\frac{\epsilon}{2}$ combinando con setp 2, la prueba está hecha.
Si estoy en lo cierto, la suposición de que $f$ es integrable de Riemann no es necesario, y la suposición del conjunto nulo se puede debilitar para que esos intervalos sólo tengan que ser más pequeños que cualquier $\epsilon\gt 0$ ?
Si estoy equivocado, por favor, enséñeme a demostrarlo.
Se agradecería cualquier ayuda.
