Ayúdame a resolver el enigma de mi padre y a recuperar mi libro

Question

Mi padre es profesor de matemáticas y, como tal, considera que hacer preguntas complicadas y jugar matemáticas bromas de vez en cuando como parte de su deber paternal.
Así que hoy, antes de salir de casa, se ha colado en mi habitación y se ha llevado el libro que estoy leyendo.

El libro es bastante viejo y está dañado, con una o dos páginas arrancadas, y al revisar mi teléfono por la mañana me encuentro con un mensaje parecido a este:

[Una imagen de él sonriendo orgullosamente y sosteniendo una página arrancada en su mano]

Querido Levix, si quieres saber dónde está tu libro, dímelo: ¿Qué página estoy sosteniendo cuando la suma de todos los números de página restantes (sin esos 2 que está sosteniendo) es igual a $81707$ ? :)

¿Alguien puede dar algún consejo? (sería genial si pudiéramos encontrar una solución general para pegar al hombre para siempre. ;) )

Actualización: En primer lugar, quiero daros las gracias a todos por vuestro amable esfuerzo y por ayudarme tan rápidamente. Disfruté tanto de vuestras inteligibles respuestas que no pude resistirme a utilizar estos conocimientos contra él :) La respuesta final que di fue que si la suma de todos los números de página restantes hubiera sido mi cumpleaños que los últimos 2 dígitos + 10 (32 41 , 32 42 ) habrían sumado el números de página de la página de salida que estaba sosteniendo. No sólo recuperé mi libro, sino que también recibí un gran abrazo. Así que ¡gracias!

(Puntos extra si puedes calcular mi cumpleaños)

Answer 1

El libro contiene $p$ hojas y, por lo tanto, tiene números de página de $1$ a $2p$ . La suma de todos los números de página viene dada por

$$ \sum_{i=1}^{2p}i =p \Big( 2p + 1 \Big). $$

El padre sostiene la página con el número de página $n$ en su mano, así que tenemos que resolver

$$ 81,707 = p \Big( 2p + 1 \Big) - n. $$

Como $81,707 \le p \Big( 2p + 1 \Big)$ obtenemos

$$ p \ge 202, $$

pero como $n \le 2p$ obtenemos

$$ p \Big(2 p + 1 \Big) - 81,707 \le 2 p, $$

de donde

$$ p \le 202, $$

por lo que el libro contiene $202$ páginas, por lo que el número de página viene dado por

$$ 202 \times 405 - 81,707 = 103. $$

La pregunta es: si el padre tiene una página $x$ ¿significa eso que hay que excluir los números de página de ambos lados de la página?

Entonces la página que tiene tu padre es $51/52$ .

Espero que recuperes tu libro.

Answer 2

Dejemos que $p,p+1$ son los números de página de las páginas que tiene en sus manos. Supongamos que el libro tiene $n$ páginas. Entonces:

$$81707=\sum_{i=1}^ni-(p+p+1)=\frac{n(n+1)}{2}-2p-1.$$

Está claro que $\frac{n(n+1)}{2}$ debe ser un número par, por ejemplo $2m.$ Así que

$$81707=2m-2p-1=2(m-p)-1\implies m-p=40854.$$ Es decir

$$\frac{n(n+1)}{4}=p+40854,$$ de donde

$$n=\frac{-1+\sqrt{1+16(p+40854)}}{2}.$$ Ya que el número de páginas tiene que ser un número natural, $16p+653665$ debe ser un cuadrado. Como $\sqrt{16p+653665}>808$ tenemos que $\sqrt{16p+653665}=808+k$ para algún número natural $k.$ Eso es,

$$n=\frac{-1+808+k}{2}=\frac{807+k}{2}.$$

Pour $k=1$ tenemos $n=404$ et $p=51.$

Pour $k=2$ (o cualquier número par) $n$ no es un número entero.

Desde $n(n+1)$ es un múltiplo de $4$ tenemos que $n$ es un múltiplo de cuatro o un múltiplo de $4$ menos uno. Así que $k$ debe ser un múltiplo de $8$ menos/más uno. Así, el siguiente caso a considerar es $k=7.$ En tal caso, $n=407$ et $p=660>n=407,$ que es imposible. (Lo mismo ocurre para valores mayores de $k,$ lo que demuestra que la solución es única).

Así, el libro tiene páginas numeradas desde $1$ a $404$ y las páginas dadas tienen números $51$ et $52.$

Answer 3

He aquí una solución sencilla al problema utilizando un poco de programación.

• Dejemos que remainingPageSum igual 81707.

• Que un contador de números de página pageNumber igual a 1.

• Dejemos que totalPageSum igual pageNumber .

• Mientras que totalPageSum es menor que remainingPageSum :

  • Incremento pageNumber por 1, y

  • Incremento totalPageSum por pageNumber .

Ahora tienes totalPageSum igual a 81810. Reste remainingPageSum de totalPageSum para obtener la suma de los números de página eliminados, 103. Los dos números de página consecutivos que tengan una suma de 103 serán floor(103 / 2) et ceil(103 / 2) o 51 y 52.

Pruébalo aquí.

Answer 4

Que haya $n$ páginas, y suponga que su padre está en la página $k$ . Entonces quieres $$\sum_{i=k+1}^ni=81707$$ ¿Sabes cómo calcular esta suma?

Answer 5

$$103$$

su libro tiene n=404 páginas, por lo que la suma de todas las páginas es n(n+1)/2=81810, como la suma debe ser 81707, la página que falta debe ser 103

si su libro tuviera 405 páginas, la suma sería 82215, y la página que falta tendría que ser 508 --imposible

si su libro tuviera 403 páginas, la suma sería 81406, no es suficiente

editar: La solución anterior supone 1 número por página. Si en cambio tiene dos números consecutivos por página:

$51$ et $52$

si su libro tuviera 403 páginas, la suma sería 81406, no es suficiente

su libro podría tener 404 páginas, la suma de sus páginas ser 81810, y la página que falta tener los números 51 y 52

si tu libro tuviera 405 o 406 páginas, la suma de sus páginas sería 82215 y 82621 respectivamente, y te sobrarían 508 y 914 en la suma. Estos son números pares, y ningún número consecutivo suma un número par, por lo que descartamos estas posibilidades.

su libro podría tener 407 páginas, la suma de sus páginas ser 830284, entonces la página que falta debería tener los números 660 y 661--imposible