He intentado buscar algo similar a lo que se describe a continuación, pero sin éxito. Sería genial si alguien pudiera mostrar algunas referencias correctas, donde esto se ha hecho, o explicar por qué tal enfoque está destinado a fallar.
Motivación
Consideremos el álgebra gln con generadores "bosónicos Bij : [Bij,Bkl]=δjkBil−δliBjk Pueden realizarse como operadores diferenciales bosónicos Bij=xi∂j en las variables de desplazamiento xixj=xjxi
Existe una forma conocida de extender esta construcción a la llamada supersimétrica ( Z2 ) añadiendo generadores ''fermiónicos''. Frs con la clasificación exp(2πi2) que se puede realizar con la ayuda de las variables de Grassman ψi , ψiψj=−ψjψi . Estos generadores satisfacen relaciones similares, pero la ley de conmutación [,] se convierte en ley de anticonmutación {,} . El patrón es [B,B]∼B , {F,F}∼B , [B,F]∼F .
Ahora quiero generalizarlo a Z3 caso.
Mi enfoque
consiste en introducir otro conjunto de generadores C y la reasignación de las calificaciones: |B|=1 , |F|=exp(2πi3) , |C|=exp(4πi3) para que se produzca el siguiente patrón: [B,B]∼B , [B,F]∼F , [B,C]∼C , [F,F]∼C , [F,C]∼B , [C,C]∼F . Aquí, en lugar de los conmutadores habituales, me refiero a una redefinición adecuada Z3 -Conmutadores graduados.
El problema
es que no funciona. En efecto, para definir los conmutadores de esta manera necesito que los elementos tengan relaciones de conmutación con las raíces cúbicas de 1 . Pero no es posible porque si todas mis variables son similares entre sí con la única excepción de la calificación, entonces, por ejemplo, ψc=f(ψ,c)cψ=f(ψ,c)f(c,ψ)ψc . Por lo tanto, ya que f(ψ,c)=f(c,ψ) este factor debe ser una raíz cuadrática de 1 .
La única salida que se me ocurrió fue introducir más (empecé con dos) conjuntos de variables que como que viven en un plano cuántico: x1ix2j=qx2jx1i . Podría escribir algo de álgebra, pero quedaría muy desordenado y probablemente esté mal.
La pregunta
es si construcciones similares de Zn supersimetría existen en la literatura o son fáciles de excluir por algunos motivos generales.
Referencias donde la gente hace algo más
Hay algo llamado "álgebras de Lie de color" pero no he sido capaz de digerir completamente sus ideas.
Richard Kerner et. al. han considerado un problema similar y lo resolvió abarcando el ámbito de las estructuras ternarias. ¿Hay alguna esperanza de seguir siendo binario en este nuevo mundo?
Edición relativa a las expresiones explícitas para los conmutadores
Estaba tratando de hacer uso de la siguiente realización de q(2) -(perteneciente a la serie extraña q(n)) que consiste en una álgebra bosónica Bij=xi∂xj+ψi∂ψj y fermiónica Fij=xi∂ψj+ψi∂xj , i,j=1,2 . Se puede comprobar que estos generadores forman efectivamente q(2) con signos en los conmutadores que aparecen naturalmente según el grado de las variables.
Ahora, para Zn caso voy a cambiar la notación para hacer más visible la motivación y poner Gkij≡xli∂xl−kj sean generadores de grado k en Zn variables de desplazamiento xli de grado l .
Utilizo la suma sobre índices repetidos para que, por ejemplo, Z3 el caso se parece a Bij=xi∂xj+ψi∂ψj+ci∂cj , Fij=ψi∂xj+ci∂ψj+xi∂cj , Cij=ci∂xj+xi∂ψj+ψi∂cj .
Establecer las reglas de conmutación entre variables xlixkj=˜g(i,l;j,k)xkjxli Inmediatamente desciendo al "caso no cuántico" (en el sentido descrito anteriormente) y pongo ˜g(i,l;j,k)≡g(l,k) .
Entonces utilizo las siguientes relaciones de conmutación [Grij,Gpkl]≡GrijGpkl−α(r,p)GpklGrij con el objetivo de determinar α(r,s) de la condición de ausencia de segundas derivadas:
[Grij,Gpkl]=xsi∂xs−rjxqk∂xq−pl−α(r,p)xqk∂xq−plxsi∂xs−rj=g(r−s,q)g(s,q)g(r−s,p−q)xqkxsi∂xq−pl∂xs−rj−α(r,p)g(p−q,s)xqkxsi∂xq−pl∂xs−rj
para que α(r,p)=g(r−s,q)g(s,q)g(r−s,p−q)g(p−q,s) por cada s et q (que a su vez es una condición para g(s,q) ).
Sin embargo, la solución que tenía en mente al escribir esto, a saber, g(r,s)=exp(2πirsn) no funciona aquí, ya que α(r,p)=exp(2πin(rp+sq−sp−ps−qs)) depende de s et q . Este problema tiene su origen en el hecho de que xrixsj=g(r,s)xsjxri con g(r,s) tomando valores en el n -raíz de 1 es incompatible con la abeliana g(r,s) , ya que g(r,s)g(s,r)=1 , como se desprende de xrixsj=g(r,s)xsjxri=g(r,s)g(s,r)xrixsj .
Probablemente no sea muy comprensible ahora mismo, pero no sé cómo decirlo de la manera correcta.