¿Existe la supersimetría graduada Z_n?

Question

He intentado buscar algo similar a lo que se describe a continuación, pero sin éxito. Sería genial si alguien pudiera mostrar algunas referencias correctas, donde esto se ha hecho, o explicar por qué tal enfoque está destinado a fallar.

Motivación

Consideremos el álgebra $gl_n$ con generadores "bosónicos $B_{ij}$ : $$[B_{ij},B_{kl}]=\delta_{jk}B_{il}-\delta_{li}B_{jk}$$ Pueden realizarse como operadores diferenciales bosónicos $B_{ij}=x_i\partial_j$ en las variables de desplazamiento $x_i x_j = x_j x_i$

Existe una forma conocida de extender esta construcción a la llamada supersimétrica ( $\mathbb{Z}_2$ ) añadiendo generadores ''fermiónicos''. $F_{rs}$ con la clasificación $\exp(\frac{2\pi i}{2})$ que se puede realizar con la ayuda de las variables de Grassman $\psi_i$ , $\psi_i \psi_j = - \psi_j \psi_i$ . Estos generadores satisfacen relaciones similares, pero la ley de conmutación $[,]$ se convierte en ley de anticonmutación $\{,\}$ . El patrón es $[B,B]\sim B$ , $\{F,F\}\sim B$ , $[B,F]\sim F$ .

Ahora quiero generalizarlo a $\mathbb{Z}_3$ caso.

Mi enfoque

consiste en introducir otro conjunto de generadores $C$ y la reasignación de las calificaciones: $|B| = 1$ , $|F| = \exp(\frac{2\pi i}{3})$ , $|C| = \exp(\frac{4\pi i}{3})$ para que se produzca el siguiente patrón: $[B,B]\sim B$ , $[B,F]\sim F$ , $[B,C]\sim C$ , $[F,F]\sim C$ , $[F,C]\sim B$ , $[C,C]\sim F$ . Aquí, en lugar de los conmutadores habituales, me refiero a una redefinición adecuada $\mathbb{Z}_3$ -Conmutadores graduados.

El problema

es que no funciona. En efecto, para definir los conmutadores de esta manera necesito que los elementos tengan relaciones de conmutación con las raíces cúbicas de $1$ . Pero no es posible porque si todas mis variables son similares entre sí con la única excepción de la calificación, entonces, por ejemplo, $\psi c = f(\psi,c) c \psi = f(\psi,c) f(c,\psi) \psi c$ . Por lo tanto, ya que $f(\psi,c) = f(c,\psi)$ este factor debe ser una raíz cuadrática de $1$ .

La única salida que se me ocurrió fue introducir más (empecé con dos) conjuntos de variables que como que viven en un plano cuántico: $x_i^{1} x_j^{2} = q x_j^{2} x_i^{1}$ . Podría escribir algo de álgebra, pero quedaría muy desordenado y probablemente esté mal.

La pregunta

es si construcciones similares de $\mathbb{Z}_n$ supersimetría existen en la literatura o son fáciles de excluir por algunos motivos generales.

Referencias donde la gente hace algo más

Hay algo llamado "álgebras de Lie de color" pero no he sido capaz de digerir completamente sus ideas.

Richard Kerner et. al. han considerado un problema similar y lo resolvió abarcando el ámbito de las estructuras ternarias. ¿Hay alguna esperanza de seguir siendo binario en este nuevo mundo?

Edición relativa a las expresiones explícitas para los conmutadores

Estaba tratando de hacer uso de la siguiente realización de $q(2)$ -(perteneciente a la serie extraña q(n)) que consiste en una álgebra bosónica $B_{ij}=x_i \partial_{x_j}+\psi_i \partial_{\psi_j}$ y fermiónica $F_{ij} = x_i \partial_{\psi_j}+\psi_i \partial_{x_j}$ , $i,j=1,2$ . Se puede comprobar que estos generadores forman efectivamente q(2) con signos en los conmutadores que aparecen naturalmente según el grado de las variables.

Ahora, para $\mathbb{Z}_n$ caso voy a cambiar la notación para hacer más visible la motivación y poner $G_{ij}^k \equiv x_i^l \partial_{x_j^{l-k}}$ sean generadores de grado $k$ en $\mathbb{Z}_n$ variables de desplazamiento $x_i^l$ de grado $l$ .

Utilizo la suma sobre índices repetidos para que, por ejemplo, $\mathbb{Z}_3$ el caso se parece a $B_{ij} = x_i \partial_{x_j}+\psi_i \partial_{\psi_j}+c_i \partial_{c_j}$ , $F_{ij} = \psi_i \partial_{x_j}+c_i \partial_{\psi_j}+x_i \partial_{c_j}$ , $C_{ij} = c_i \partial_{x_j}+x_i \partial_{\psi_j}+\psi_i \partial_{c_j}$ .

Establecer las reglas de conmutación entre variables $x_i^l x_j^k = \tilde{g}(i,l;j,k) x_j^k x_i^l$ Inmediatamente desciendo al "caso no cuántico" (en el sentido descrito anteriormente) y pongo $\tilde{g}(i,l;j,k)\equiv g(l,k)$ .

Entonces utilizo las siguientes relaciones de conmutación $$[G_{ij}^r, G_{kl}^p] \equiv G_{ij}^r G_{kl}^p - \alpha(r,p) G_{kl}^p G_{ij}^r$$ con el objetivo de determinar $\alpha(r,s)$ de la condición de ausencia de segundas derivadas:

$$[G_{ij}^r, G_{kl}^p] = x_i^s \partial_{x_j^{s-r}} x_k^q \partial_{x_l^{q-p}} - \alpha(r,p) x_k^q \partial_{x_l^{q-p}} x_i^s \partial_{x_j^{s-r}} = g(r-s,q) g(s,q) g(r-s, p-q) x_k^q x_i^s \partial_{x_l^{q-p}}\partial_{x_j^{s-r}} - \alpha(r,p) g(p-q,s)x_k^q x_i^s \partial_{x_l^{q-p}}\partial_{x_j^{s-r}}$$

para que $\alpha(r,p) = \frac{g(r-s,q) g(s,q) g(r-s, p-q)}{g(p-q,s)}$ por cada $s$ et $q$ (que a su vez es una condición para $g(s,q)$ ).

Sin embargo, la solución que tenía en mente al escribir esto, a saber, $g(r,s) = \exp(\frac{2\pi i rs}{n})$ no funciona aquí, ya que $\alpha(r,p) = \exp(\frac{2\pi i}{n}(rp+sq-sp-ps-qs))$ depende de $s$ et $q$ . Este problema tiene su origen en el hecho de que $x_i^r x_j^s =g(r,s) x_j^s x_i^r$ con $g(r,s)$ tomando valores en el $n$ -raíz de $1$ es incompatible con la abeliana $g(r,s)$ , ya que $g(r,s)g(s,r)=1$ , como se desprende de $x_i^r x_j^s =g(r,s) x_j^s x_i^r =g(r,s) g(s,r) x_i^r x_j^s$ .

Probablemente no sea muy comprensible ahora mismo, pero no sé cómo decirlo de la manera correcta.

Answer 1

Las realizaciones (de un álgebra a través de otra álgebra) de las que hablas son en realidad homomorfismos. Y como tales deben mapear entre estructuras algebraicas del mismo tipo: es decir, de álgebras a álgebras, de álgebras de Lie a álgebras de Lie, de álgebras graduadas a álgebras graduadas (graduadas por el mismo grupo), etc.

Como estás considerando superálgebras de Lie y las realizas a través de operadores bosón-fermión, lo que estás haciendo en realidad es considerar el álgebra que mezcla los grados de libertad bosónicos/fermiónicos como una superálgebra: esto significa que la consideras eqquipada con un $\mathbb{Z}_2$ -y se escoge la única función de color disponible (única porque sólo hay un único bicharraco del $\mathbb{Z}_2$ grupo). Esta es la función: $\theta:\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\rightarrow\mathbb{C}^*$ dado explícitamente por $\theta(a,b)=(-1)^{\deg a\deg b}$ , donde $a,b\in\mathbb{Z}_2$ et $\deg=0,1$ dependiendo de si el elemento correspondiente es par o impar. Este bicarácter determina en realidad la forma exacta de los paréntesis en la LS; es decir, si son conmutadores ( $\theta(a,b)=1$ ) o anticomutadores ( $\theta(a,b)=-1$ ).

Si se va a calificaciones más generales (es decir $\mathbb{Z}_3$ que te interesa -pero incluso podría ser un grupo abeliano finito arbitrario $\mathbb{G}$ ) entonces el "paréntesis" estará generalmente definido por $[a,b]=ab-\theta(a,b)ba$ , donde $\theta:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\rightarrow\mathbb{C}^*$ por lo que esencialmente la función de color (tómese como sinónimo de bicarácter en este escenario) es lo que determina la forma del paréntesis (en grupos de mayor grado con más bicarácteres disponibles, el paréntesis no necesita ser un (anti)conmutador, puede tener una forma más general). $\theta$ también determina el comportamiento de la multiplicación en las álgebras de productos tensoriales, por lo que hablamos de productos tensoriales trenzados y graduados, pero esto es posiblemente otra historia.

Si te interesan estos puntos de vista, puedes echar un vistazo (perdona de antemano la autocita pero creo que es relevante aquí) a:

• Realizaciones Super-Hopf de las Superalgebras de Lie: Extensiones de Parapartículas Trenzadas del mapa Jordan-Schwinger
• Graduaciones, trenzados, representaciones, paraparticulas: algunos problemas abiertos (véase especialmente la discusión de las páginas 80-81 y la sección 5.1)

El primer documento revisa principalmente las nociones pertinentes, mientras que el segundo utiliza las realizaciones de una manera que -creo- se acerca a lo que estás haciendo. La diferencia es que yo estoy utilizando (en estas referencias) álgebras "más grandes" que la mezcla supersimétrica de bosones y fermiones que estás considerando. Estoy utilizando álgebras que mezclan generadores parabosónicos y/o parafermiónicos (tus álgebras se pueden recuperar como cocientes de las últimas). Esto da la oportunidad de considerar otros grupos de graduación (me estoy centrando principalmente en el caso de un $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ grupo de clasificación y sus colores o bicharracos si lo prefieres). Parece que tal línea de investigación presenta interés tanto desde el punto de vista de las matemáticas como de la física. En:

• $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ -parastatismo graduado en Hamiltonianos cuánticos multipartícula, F. Topan

el autor parece seguir con ideas y métodos similares (centrándose más en el punto de vista de la física) mientras que yo (junto con un par de colegas) tengo algunos trabajos más antiguos sobre otras aplicaciones del $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ -(centrándose más en el punto de vista de la teoría de la representación: es decir, en la construcción de representaciones de superálgebras de Lie mediante realizaciones de parapartículas). Puedo enviarle las referencias pertinentes si está interesado en ellas.

No estoy seguro de que lo anterior arroje algo de luz a tus preguntas y a tu investigación, pero espero que encuentres algo de interés en ellas.

Editar: Algunas referencias más que giran en torno a $\mathbb{Z}_n$ -Las simetrías graduadas (generalizando así el caso supersimétrico mencionado en el OP) y centrándose en el lado de la física, son:

• $\mathbb{Z}_n$ -Graded Topological Generalizations of Supersymmetry and Orthofermion Algebra, A Mostafazadeh
• En un $\mathbb{Z}_2^n$ -versión graduada de la supesimetría, A J Bruce

Answer 2

Otra posibilidad es considerar los elementos del grupo en lugar de los conmutadores. Si se toman las matrices $A=\mathrm{diag}(1,\xi,\ldots,\xi^{n-1})$ et $B=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0&0\\ 0&0&1&\cdots&0&0\\ 0&0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0&1\\ 1&0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix}$ en $gl_n$ (aquí $\xi=\exp(2\pi i/n)$ entonces $A^n=B^n=I_n$ , $BA=\xi AB$ y los elementos $A^iB^j$ forman una base de $gl_n$ que tiene una bonita tabla de multiplicar. Además, de esta forma el álgebra de matrices es $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_n$ -calificado (puesto $\deg(A^iB^j)=(i,j)$ funciona bien). Considerando varios homomorfismos $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z}_n$ , obtendrá todo tipo de $\mathbb{Z}_n$ -grados.