¿cómo se entiende la GRR? (Grothendieck Riemann Roch)

Question

Intenté responder a una pregunta anterior sobre los usos de la GRR, sólo a partir de mi lectura, aunque no entiendo la GRR. Hoy he tratado de entender la posible idea que hay detrás de la GRR. Después de editar mi respuesta, se me ocurrió que estaba haciendo una pregunta en lugar de dar una respuesta. Mi pregunta es, a grandes rasgos, si la siguiente especulación se ajusta al propósito de la GRR.

Hoy he estado pensando en Riemann Roch, y leyendo a Riemann. Después de tratar con un divisor fijo D, Riemann observa que su resultado demuestra que todo divisor de grado g+1 domina al divisor del polo de una función meromorfa no constante. Luego dice que puede ser posible encontrar un divisor especial de grado aún menor que domine los polos de una función no constante. Es decir, empieza a variar el divisor. Mediante un cálculo de rango muestra que no se puede esperar una función no constante a menos que el divisor de los polos tenga un grado de al menos (g/2)+1.

Ahora, siguiendo su ejemplo, nos lleva a variar la curva en lugar del divisor. Por ejemplo, podríamos considerar la familia de curvas sobre el espacio de moduli. Entonces un buen teorema de Riemann Roch debería permitirnos relacionar el teorema de Riemann Roch para las fibras de las curvas, con una conclusión para una gavilla relacionada en el espacio base., como una fórmula de tipo kunneth, relacionando la cohomología del espacio base el espacio total y la fibra.

Es decir, un buen divisor como el divisor canónico en una curva, debería ser recortado en cada fibra de la curva por un divisor en el espacio total, al intersectarlo con cada curva. (por ejemplo, podríamos restringir la gavilla O(1) en el plano, a cada curva de grado 4.) entonces podemos empujar esta gavilla desde el espacio total hasta el espacio base, es decir, el espacio de moduli de las curvas. Un buen teorema de Riemann Roch relativo relacionaría entonces el haz canónico universal en el espacio total, con los haces canónicos en las fibras de las curvas, y la cohomología del empuje hacia abajo del haz universal al espacio base, el espacio de moduli de las curvas.

Lo ideal sería que una relación de este tipo permitiera calcular invariantes de gavillas en el espacio de moduli que surgen al empujar hacia abajo gavillas en el espacio total de curvas. Las aplicaciones esperanzadoras podrían incluir la búsqueda de gavillas amplias en Mg, demostrando así la proyectividad, y el cálculo de invariantes de la gavilla canónica en Mg, estimando así potencialmente la dimensión de Kodaira.

Ahora bien, todo esto es una especulación, ya que no entiendo ni siquiera la declaración del GRR, y no he leído el documento de Harris-Mumford en el que se hace la aplicación que he citado anteriormente. Además nunca he visto ninguna prueba de la dimensión de kodaira del Mg utilizando este método. ¿Quizás alguien con más conocimientos pueda comentar estas aplicaciones especulativas?

¿Es ésta, a grandes rasgos, la idea que subyace en la RG y en las aplicaciones de Mumford? Es decir, ¿la idea de GRR es entender la cohomología de una gavilla en un espacio base que surge como un empuje hacia abajo, restringiéndola a las fibras del mapa? y ¿qué utilidad tiene esto en la práctica?

pregunta específica: si chi(O) es constante en las fibras, ¿permite la GRR determinar chi(O) del espacio total o del espacio base a partir del otro?

Answer 1

Descargo de responsabilidad : No me sorprendería que cometiera algunos errores a continuación, especialmente en la parte de cálculo. Esperemos que los errores se limiten efectivamente al cálculo y no a los conceptos.

Así pues, tratemos de entender la GRR en el contexto que le interesa:

Dejemos que $f:X\to Y$ sea una familia suave de curvas proyectivas y sea $\mathscr L$ sea un haz de líneas en $X$ .

GRR dice que dos cosas son iguales, así que vamos a entender cada lado. El lado izquierdo es el carácter exponencial de Chern $\mathrm{ch}(\_)$ de $f_!(\mathscr L)$ .

Desde $f$ es plana de dimensión relativa $1$ tenemos que $$ f_!(\mathscr L)= f_*\mathscr L- R^1f_*\mathscr L. $$ La sustracción se realiza en $K(Y)$ pero no es importante en este momento. Si aceptas que podemos pensar temporalmente en esto como algo razonable, entonces todo está bien. (Al menos hasta ahora).

El carácter exponencial de Chern es al final una receta para tomar un polinomio de varias clases de Chern. Me parece fascinante que se pueda dar de una forma tan sencilla y, sin embargo, sea casi imposible de recordar, pero, de nuevo, esto no es importante en este momento.

Ahora bien, para que se entienda lo que está sucediendo asume $\mathscr L$ se comporta bien con respecto a $f$ en el sentido de que $h^0(X_y, \mathscr L_y)$ y $h^1(X_y, \mathscr L_y)$ son constantes. Este es el caso si $\mathscr L=\omega_{X/Y}^{\otimes m}$ .

De todos modos, si $\mathscr L$ es tal, entonces tanto $f_*\mathscr L$ y $R^1f_*\mathscr L$ son libres a nivel local.

Quizás en este punto también podríamos asumir que $Y$ es una curva proyectiva suave. En ese caso $\mathrm{ch}(\mathscr E)=r+c_1(\mathscr E)$ donde $\mathscr E$ es una gavilla localmente libre de rango $r$ . Entonces tenemos $$ \mathrm{ch}(f_!(\mathscr L))= \mathrm{ch}(f_*\mathscr L)- \mathrm{ch}(R^1f_*\mathscr L)= \chi(\mathscr L_y) + c_1(f_!(\mathscr L)). $$

Veamos hasta dónde llegamos con la parte derecha de GRR.

Primero necesitamos el carácter exponencial de Chern de $\mathscr L$ en $X$ pero esto es fácil (teniendo en cuenta que $X$ es una superficie): $$ \mathrm{ch}(\mathscr L)=1+c_1(\mathscr L) + \frac 12 c_1(\mathscr L)^2. $$

Entonces necesitamos el Clase Todd de la gavilla tangente relativa de $f$ . Tampoco es tan difícil. $\mathscr T_f=\omega_{X/Y}^{-1}$ y $X$ sigue siendo una superficie, por lo que la clase Todd es relativamente manejable: $$ \mathrm{td}(\mathscr T_f)=1-\dfrac 12 c_1(\omega_{X/Y}) + \dfrac 1{12} c_1^2(\omega_{X/Y}) $$ (En realidad, esto sería lo mismo incluso si $Y$ es una superficie. Si $Y$ es un triple, entonces hay un término adicional con $c_1^4$ y así sucesivamente).

Ahora tenemos que tomar el producto de intersección de estas dos clases y obtener $$ \mathrm{ch}(\mathscr L)\cdot \mathrm{td}(\mathscr T_f) = 1 + \left(c_1(\mathscr L) - \dfrac 12 c_1(\omega_{X/Y})\right) + \frac 12 c_1(\mathscr L)^2 + \dfrac 12 c_1(\mathscr L)\cdot c_1(\omega_{X/Y}) + \dfrac 1{12} c_1^2(\omega_{X/Y}). $$

El lado derecho de GRR es $f_*$ de esto. Recuerde que $f_*$ es cero si la imagen del ciclo es de menor dimensión que el ciclo. En particular $f_*(1)=0$ y $f_*D=D\cdot X_y=\deg D_y$ para un divisor $D$ y una arbitraria $y\in Y$ . En el caso de los puntos, el empuje hacia adelante es sólo los puntos de la imagen con los coeficientes apropiados.

Así que tenemos que

\begin{multline} f_*(\mathrm{ch}(\mathscr L)\cdot \mathrm{td}(\mathscr T_f)) =\\ \left(\deg\mathscr L_y - \dfrac 12 \deg\omega_{X_y}\right) + \frac 12 f_* c_1(\mathscr L)^2 + \dfrac 12 f_*\left(c_1(\mathscr L)\cdot c_1(\omega_{X/Y})\right) + \dfrac 1{12} f_*c_1^2(\omega_{X/Y}) \end{multline}

Ahora, si comparamos esto con el cálculo del lado izquierdo, vemos que el primer término (entre paréntesis) es igual a $\chi(X_y)$ por lo que la RR original en las fibras está incrustada aquí y la suma de los términos restantes es igual a $c_1(f_!(\mathscr L))$ como se ha definido anteriormente. Tomando el grado de estos divisores en $Y$ nos da una igualdad numérica: $$ \deg f_*\mathscr L -\deg R^1f_*\mathscr L = \frac 12 c_1(\mathscr L)^2 + \dfrac 12 c_1(\mathscr L)\cdot c_1(\omega_{X/Y}) + \dfrac 1{12} c_1^2(\omega_{X/Y}). $$

Así que se puede decir que la GRR es una versión relativa de la RR (o HRR) en la que se obtiene la original en las fibras y se obtiene alguna información sobre la variación "horizontal" de la cohomología relativa de su haz de líneas.

Luego, si te sientes aventurero, puedes intentar comprender morfismos más complicados. Creo que el caso de la curva universal sobre el espacio de moduli es más o menos lo mismo que aquí, excepto que el cálculo sobre $Y$ es un poco más complicado y también lo es la clase Todd en $X$ .

Answer 2

Así es como pienso en G-R-R en el contexto de los módulos de las curvas. Ahora me doy cuenta de que he escrito algo bastante largo.

Permítanme recordar primero la definición del anillo tautológico. Como consecuencia de los resultados sobre la geometría birracional de $\overline M_g$ que no hay esperanza de entender todo el anillo de Chow de $\overline M_g$ -- por ejemplo, a diferencia de los ejemplos engañosos de bajo género, el anillo de Chow será en general de dimensión infinita. En el libro de David Mumford "Towards an enumerative geometry..." introduce un subring de dimensión finita del anillo de Chow que contiene todas las clases "geométricamente naturales" del anillo de Chow y propone estudiarlo en su lugar, y este subring se llama anillo tautológico. Permítanme citarlo:

"Siempre que una variedad o espacio topológico está definido por alguna propiedad universal, se espera que, en virtud de su propiedad definitoria, posea ciertas clases de cohomología llamadas clases tautológicas. El ejemplo estándar es un Grassmanniano [...] por su propia definición, hay un haz universal $E$ sobre la Hierba de rango $k$ y esto induce clases de Chern $c_l(E)$ tanto en el anillo de cohomología como en el anillo de Chow de Grass".

Permítanme ampliar el significado de "geométricamente natural". Hay varias definiciones posibles del anillo tautológico. La utilizada por Mumford es que es el subring generada por el llamado $\kappa$ -que no es realmente la correcta: por ejemplo, también hay que considerar los divisores de frontera como clases tautológicas (pero esto ya está implícito en el artículo de Mumford). Una buena definición es la de Faber y Pandharipande, que define el anillo tautológico para todos los espacios $\overline M_{g,n}$ simultáneamente: es el sistema mínimo de subrings que contiene todas las clases fundamentales, es cerrado bajo todos los morfismos de encolado y es cerrado bajo todos los puntos-morfismos de olvido.

Moralmente lo que esto significa es que: (i) para cualquier haz "natural" que puedas escribir directamente en términos del functor de moduli, sus clases de Chern van a ser tautológicas; (ii) cualquier tipo de procedimiento de encolado "natural" en curvas va a mantenerte dentro del anillo tautológico. Por ejemplo, el $\lambda$ -(clases de Chern del haz de Hodge) son tautológicas, la $\psi$ -son tautológicas (los haces de líneas dados por la línea cotangente en un punto marcado), y las $\kappa$ -las clases son tautológicas.

Bien, volvamos a G-R-R. Dejemos que $f \colon X \to Y$ sea un morfismo propio. En un lado de la ecuación se tiene el carácter de Chern del pushforward derivado $Rf_\ast F$ . En el otro lado tienes el empuje del carácter Chern de $F$ y la clase Todd de la gavilla tangente relativa $T_f$ . La cuestión es que ambos $F$ , $Rf_\ast F$ y $T_f$ puede tener sentido si se trabaja a nivel local/de fibra: no necesitamos saber cualquier cosa sobre la estructura global de $Y$ para aplicar G-R-R a $f$ y $F$ . Pero así es también como se estableció el anillo tautológico: las clases en el anillo tautológico son exactamente las que pueden definirse empujando alrededor de clases de haces definidos "fibrosamente", lo que significa que son exactamente las clases que pueden definirse sin hacer ninguna referencia a ninguna estructura "global" del espacio de moduli.

Así que, en retrospectiva, Grothendieck-Riemann-Roch parece hecho a medida para el estudio de los anillos tautológicos. Por otro lado, ésta es también una limitación de G-R-R: producirá muchas relaciones e identidades que relacionan las clases tautológicas entre sí, pero nunca demostrará ninguna afirmación "global" sobre ninguna de ellas.

Como ejemplo, es posible calcular algorítmicamente el número de intersección en $\overline M_{g,n}$ para cualquier polinomio en los estratos límite y $\lambda$ -, $\psi$ - y $\kappa$ -clases. Primero se expresa el $\kappa$ -clases como pushforwards de $\psi$ -entonces se puede utilizar G-R-R para expresar la $\lambda$ -clases en términos de pushforwards de $\psi$ -que finalmente reducirá su cálculo a un número de intersección que sólo implica $\psi$ -clases. Todo esto fue completamente formal, pero tarde o temprano vas a necesitar usar alguna propiedad geométrica global de $\overline M_{g,n}$ para encontrar un número real, y aquí es donde entra en juego: la conjetura de Witten/teorema de Kontsevich te dice cómo calcular cualquier intersección de $\psi$ -clases.

Por último, permítanme hablar un poco sobre el artículo de Harris y Mumford. La primera aplicación de G-R-R en su artículo es derivar la fórmula $K_{\overline{M}_g} = 13\lambda_1 - 2\delta_0 - 3\delta_{1} - \ldots - 2\delta_{n}$ en el anillo tautológico. Esto se hace aplicando GRR a la proyección desde la curva universal y truncando después del primer término. Por cierto, si no se trunca después del primer término, se obtiene la fórmula de Mumford (derivada en "Towards an enumerative geometry...") que expresa el carácter de Chern del haz de Hodge en términos de $\kappa$ -y los pushforwards de $\psi$ -clases de los estratos límite.

Pero, de nuevo, el GRR no le dirá ninguna información geométrica global como si una clase es grande o amplia. La idea es entonces encontrar un divisor efectivo $D$ tal que $mK_{\overline M_g} = D + a\lambda_1$ con $a > 0$ . Resulta que esto es posible para $D$ igual al lugar de $k$ -curvasgonales, donde recogen $g = 2k-1$ . En el artículo describen cómo llegaron a esta elección particular de $D$ tratando de generalizar el trabajo de Freitag sobre la dimensión Kodaira de $A_g$ para $g$ grande, en particular creo que debería haber una forma modular de Siegel cuyo pullback a $M_g$ conjeturalmente tendría $D$ como su locus de fuga. No sé si esto se resolvió en trabajos posteriores. Entonces $nK_{\overline M_g}$ para que sea lo suficientemente grande $n$ define un mapa birracional utilizando el hecho de que $\lambda_1$ es amplia en $A_g$ , en última instancia porque la compactificación de Satake es el Proj del anillo de forma modular de Siegel, es decir, las secciones de potencias del determinante del haz de Hodge. (Sin embargo $\lambda_1$ no es amplia en $\overline M_g$ !)

Esta parte se aclara con el artículo posterior de Cornalba y Harris que muestra que una combinación lineal $a\lambda - b\delta$ es amplia si y sólo si $a > 11b$ . El grupo racional de Picard de $\overline M_g$ es generado por $\lambda_1$ y los divisores de frontera, por lo que cualquier divisor efectivo tiene una expresión de la forma $a\lambda - \sum b_i \delta_i$ por lo que la estimación de la dimensión Kodaira de $\overline M_g$ realmente se reduce a encontrar divisores efectivos tales que el pendientes $a/b_i$ son pequeños.

De todos modos, la segunda aplicación de GRR en su artículo es mostrar que en la parte abierta $M_g$ El $k$ -gonal es un múltiplo de $\lambda_1$ . En realidad, esta parte utiliza aún más la fórmula de Porteous: una vez que expresan $k$ -en términos de un morfismo de haces con un rango inferior al esperado, la clase del $k$ -puede expresarse en términos de clases de Chern de los dos haces, es decir, en términos de clases tautológicas. Se deduce entonces que $D$ es la suma de un múltiplo de $\lambda_1$ y una combinación lineal integral de los divisores del límite. Finalmente, estos enteros se determinan evaluando los divisores en "curvas de prueba" adecuadas. Concluyen que $\overline M_g$ es de tipo general para grandes $g$ .

Answer 3

Introducción: El GRR da relaciones en el anillo tautológico

No puedo hablar directamente de las posibles aplicaciones que tenías en mente en cuanto a la dimensión de Kodaira, pero puedo decir algo sobre la aplicación de Mumford de la RG al espacio de moduli de las curvas. Parece que se acerca bastante a lo que imaginas, y de hecho es muy importante en el estudio de (cierta parte de) el anillo de cohomología de los espacios de moduli $\mathcal{M_g}$ y sus parientes como el espacio de Deligne-Mumford $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ (ahora la curva tiene $n$ puntos marcados, y compactamos añadiendo ciertas curvas nodales en caso de que los puntos intenten colisionar o la estructura compleja de la curva degenere), y aún más en la teoría de Gromov-Witten. Voy a dar una visión general de esta historia, a partir de tu pregunta (espero).

La parte del anillo de cohomología de $\mathcal{M_g}$ De lo que estoy hablando se llama el anillo tautológico y una suave encuesta-introducción es la de Ravi Vakil El espacio de moduli de las curvas y la teoría de Gromov-Witten . Esas notas no mencionan explícitamente la GRR, pero citan un resultado que procede directamente del cálculo de la GRR de Mumford, y lo que voy a intentar es explicarlo un poco.

También me gustaría mencionar que, por lo que tengo entendido, esta dirección de aplicación es esencialmente lo que Mumford tenía en mente. El documento en el que hace este cálculo, después de todo, se titula "Hacia una geometría enumerativa del espacio de módulos de las curvas" .

Calentamiento: Grassmannian

Puedes ver en el primer párrafo del artículo de Mumford que está modelando explícitamente lo que está haciendo después de la cohomología del Grassmannian, así que voy a dedicar un párrafo a ellos, para motivar lo que viene en el espacio de moduli de las curvas.

Por un lado, tenemos los ciclos de Schubert, dados por los loci de los planos que intersecan la una bandera fija con dimensiones dadas. Por otro lado, dado que cada punto representa un espacio vectorial, estos espacios vectoriales encajan para dar un haz vectorial tautológico, y podemos tomar ciclos que representen las clases de Chern de este haz, y obtener diferentes clases --no está necesariamente claro en absoluto que estos diferentes ciclos tautológicos deban estar relacionados, pero lo están.

Mumford, y muchos después de él, intentan encontrar relaciones similares entre diferentes clases tautológicas en $\mathcal{M}_g$ . Mumford termina su primer párrafo con "Además, parece que muchas clases geométricamente naturales son expresables en términos de un pequeño número de clases básicas" - esto es similar a la descripción del Grassmannian, y es lo que nos dará la GRR.

Empezamos con su idea básica

En lugar de entrar en todos los detalles técnicos de la misma, sólo quiero señalar que procede esencialmente como usted imaginó aquí:

Un buen teorema de Riemann Roch relativo relacionaría entonces la gavilla canónica universal sobre el espacio total, con las gavillas canónicas sobre las fibras de las curvas, y la cohomología del push down de la gavilla universal con el espacio base, el espacio de moduli de las curvas.

Reformulado de forma ligeramente diferente: dejemos $\pi:\mathcal{M_{g,1}}\to\mathcal{M_g}$ sea el mapa de un espacio de moduli de curvas con un punto marcado al espacio de moduli de curvas sin puntos marcados -- resulta que esto es exactamente la familia universal. Entonces tenemos la gavilla canónica universal $\omega_\pi$ en $\mathcal{M_{g,1}}$ que usted estaba discutiendo. Podemos usar esto para obtener clases de cohomología en $H^*(\mathcal{M_g})$ de dos maneras diferentes: primero toma su carácter chern, y luego empuja hacia abajo a $\mathcal{M_g}$ , o primero empujar hacia abajo para $\mathcal{M_g}$ y luego tomar el carácter chern.

Estas dos alternativas dan lugar a clases de cohomología de aspecto muy diferente a priori en $\mathcal{M_g}$ pero GRR dice que, después de manipular las clases de Todd, son las mismas.

Chern entonces empuja hacia adelante

Veamos qué ocurre cuando tomamos el primer camino. Como $\omega_\pi$ es unidimensional, tomar el carácter de Chern es simplemente exponer $c_1(\omega_\pi)$ . La clase $c_1(\omega_\pi)$ se llama la clase psi $\psi$ . Nótese que normalmente se define como la primera clase de Chern del haz tangente a la curva en el punto marcado, pero mediante la identificación de la curva universal con $\mathcal{M_{g,1}}$ son equivalentes. Pero debo advertir que esto ya no es del todo cierto si empezamos a añadir más puntos o nodos marcados a nuestras curvas. Así que tomando el carácter de Chern de $\omega_\pi$ da poderes de $\psi$ en $\mathcal{M_{g,1}}$ y ahora, si las hacemos avanzar, obtenemos las clases kappa de Morita-Mumford-Miller $\kappa_i=\pi_*(\psi^{i+1})\in H^{2i}(\mathcal{M_g})$ -- de hecho, esta es la definición de $\kappa_i$ .

Empuje hacia adelante y luego Chern

Ahora, ¿qué pasa si vamos en la otra dirección? Para empujar hacia adelante $\omega_\pi$ tomamos la cohomología de $\mathcal{M_g}$ -- desde $h^0(C, \omega_C)=g$ independientemente de la curva $C$ tenemos $\pi_*(\omega_\pi)=\mathbb{E}$ , donde $\mathbb{E}$ es una dimensión $g$ haz de vectores en $\mathcal{M_g}$ conocido como el haz de Hodge. Más sencillamente, la fibra de $\mathbb{E}$ sobre una curva $C$ son las secciones del haz canónico de $C$ . El chern clases de la $\mathbb{E}$ se conocen como $\lambda$ clases: $\lambda_i=c_i(\mathbb{E})$ . Tomando el carácter Chern de la $\mathbb{E}$ entonces nos daría un poco de lío de polinomios en el $\lambda$ clases.

Comparándolos

Así que tomando los dos caminos diferentes de $K(\mathcal{M_{g,1}})$ a $H^*(\mathcal{M_g})$ da dos tipos de clases tautológicas de aspecto diferente, el $\kappa$ clases y el $\lambda$ clases. Dado que hemos establecido esto teniendo en cuenta el GRR, ahora deberíamos ver una relación entre ellos.

En este caso resulta que esta relación se limpia bastante bien si la empaquetamos en una función generadora, y una mejor respuesta podría explicar cómo, pero me limitaré a señalar que ya que estábamos trabajando con el haz cotangente relativo para empezar, la clase relativa de Todd puede ser manipulada para darnos más $\kappa$ y luego, con más vueltas a las clases características, resulta que podemos expresar esta relación muy bien en términos de funciones generadoras:

$$\sum_{i=0}^\infty \lambda_i t^i=\exp\left(\sum_{j=i}^\infty \frac{B_{2j}\kappa_{2j-1}}{2j(2j-1)}t^{2j-1}\right).$$

Aquí $B_{2j}$ son los números de Bernoulli, procedentes de la clase Todd. Esta es la fórmula que aparece en las notas de Ravi a las que he aludido antes: cita a Faber para esta expresión concreta.

Extensiones

He hecho esto sólo por $\mathcal{M_g}$ para simplificar, pero quiero indicar aquí que se puede sacar mucha más gasolina de la misma idea básica.

En primer lugar, puedes añadir puntos marcados y puntos límite y, esencialmente, pasa por lo mismo. La curva universal sigue siendo sólo la adición de otro marcado, y luego olvidarlo. Lo que se complica un poco es que la gavilla dualizadora relativa $\omega_\pi$ deja de ser igual sólo a la línea cotangente en el punto extra cuando nuestra curva se vuelve singular, pero podemos entender cómo difieren, y así obtenemos algunas contribuciones adicionales que involucran a los estratos del límite -- creo que Mumford ya comenzó a tratar con esto, y Faber y Pandharipande ciertamente lo trataron.

También se puede extender esto a la teoría de Gromov-Witten, y considerar espacios de moduli de mapas estables, y considerar una curva con puntos marcados junto con un mapa $f:C\to X$ y jugar el mismo juego allí. O mejor, podemos primero retirar un paquete de $E\to X$ y jugar el juego descrito anteriormente con $f^*(E)$ . En caso de que $E$ es un haz de líneas, $s:X\to E$ un haz de líneas, y $Y=s^{-1}(0)$ el conjunto de fuga, esto puede dar relaciones entre los invariantes de Gromov-Witten de $X$ y $Y$ en términos de las clases de Chern de $E$ . Y en caso de que $E$ es un negativo, esto puede expresar los invariantes de Gromov-Witten del espacio total de $E$ en términos de los invariantes de Gromov-Witten de $X$ y las clases de Chern de $E$ . Esto se ha trabajado en la tesis de Tom Coates, y en su trabajo conjunto en los Anales con su asesor, Givental: Riemann-Roch cuántico, Lefschetz y Serre y es muy importante para la teoría de GW, ya que es el método por el que podemos entender $X$ que es una intersección completa en una variedad tórica $Y$ -- este método relaciona la teoría de GW de $X$ a la de $Y$ y como $Y$ es tórica podemos localizar con respecto a la acción del toro para calcular sus invariantes de Gromov-Witten.

Answer 4

Dejemos que $f:X \to Y$ sea un morfismo propio de variedades algebraicas. La idea detrás de GRR es que la clase en el grupo de Grothendieck $K_0(Y)$ del pushforward derivado $Rf_*(F)$ de $F \in D^b(coh X)$ depende únicamente de la clase de $F$ en $K_0(X)$ . El propio GRR da una fórmula explícita en términos de caracteres de Chern.

Answer 5

Dado un morfismo propio de variedades algebraicas lisas $f \colon X \to Y$ tenemos por un lado $K_0$ grupos y por otro una teoría de "cohomología" $H^*$ se hace tomar para esto los grupos de Chow, la homología singular (en el caso complejo) o el anillo graduado asociado al $\gamma$ filtración en grupos K. En cualquier caso, toda teoría de cohomología con racional coeficientes. Hay una transformación natural:

$$ ch \colon K_0 \to H^* $$

que se apoya en ambas teorías. Es una especie de exponencial categorizada en el sentido de que, como teorías de cohomología generalizada, la teoría K está asociada a los grupos formales multiplicativos mientras que la teoría de cohomología ordinaria está asociada al grupo formal aditivo. Si combinamos el carácter de Chern $ch$ con el pull-back, entonces ambos son compatibles en el sentido de que $f^\ast ch = ch f{}^\ast$ . Pero estas teorías de cohomología son también covariantes para morfismos propios. En este caso, la fórmula esperada no se cumple y hay que poner como factores adicionales el Clases de Todd de $X$ y $Y$ . Así que, en cierto sentido, multiplicar por estas clases repara la falta de functorialidad covariante. Por cierto, la fórmula correcta es

$$ ch(f_* e) \cdot Td(Y) = f_*( ch(e) \cdot Td(X)) $$

con $e$ una clase en $K_0(X)$ .

Por supuesto hay generalizaciones y para eliminar la hipótesis de no singularidad se requiere como siempre mucha maquinaria. Si $e$ proviene de un haz vectorial, se puede pensar en la fórmula como una forma de comparar las clases de Chern de la imagen directa (normalmente un complejo perfecto, pero no hay problema en definir sus invariantes de Chern) con la imagen directa de sus clases de Chern. Y la comparación está mediada por las clases fundamentales de $X$ y $Y$ . En caso de que $Y$ es un punto estamos hablando de calcular la característica de Euler-Poincaré de $e$ . Para mí, la falta de compatibilidad del carácter de Chern con el empuje hacia adelante muestra que hay relaciones sutiles entre la exponencial y las clases intrínsecas de las varietis, pero quizás este último comentario sea demasiado vago.