Demostrar que el grado del campo de división de $x^p-1$ es $p-1$ si $p$ es primo

Question

Me encontré con esta pregunta que no pude resolver:

Si $p$ es un número primo, demuestre que el campo de división sobre $F$ el campo de los números racionales, del polinomio $x^p-1$ es de grado $p-1$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora. Denota $f(x) = x^p-1 \in F[x]$ . Entonces, $f(x)$ puede escribirse como el producto de dos polinomios irreducibles, a saber $(x-1)(x^{p-1}+\cdots+x+1)$ . Si llamamos a este último polinomio $q(x)$ vemos fácilmente que $\deg q(x) = p-1$ . Si $\alpha$ es una raíz de $q(x)$ entonces $\alpha$ es algebraico de grado $p-1$ en $F$ . Así, $[F(\alpha):F]=p-1$ .

Creo que ahora tengo que considerar el campo de división de $q(x)$ pero no estoy seguro de cómo proceder.

Gracias de antemano.

Answer 1

Siguiendo exactamente los comentarios anteriores, tenemos la siguiente solución:

Sabemos que $F(\alpha) \subset E$ el campo de división de $x^p-1$ en $F$ . Desde $[F(\alpha):F]=p-1$ y queremos $[E:F]=p-1$ basta con demostrar que $F(\alpha)=E$ .

Si consideramos las raíces de $q(x)$ tenemos $ e^{2\pi i \cdot 1/p}, e^{2\pi i \cdot 2/p}, \cdots, e^{2 \pi i \cdot p-1/p}$ . Supongamos que tomamos $\alpha = e^{2\pi i \cdot 1/p}$ como raíz. Entonces, podemos representar $F(\alpha) = \alpha, \alpha^2, \cdots, \alpha^{p-1}$ . Obsérvese que 1, la raíz de $x-1$ es trivial en $F(\alpha)$ . Así, todas las raíces de $f(x)$ están contenidas en $F(\alpha)$ por lo que debe ser el caso de que el campo de división $E=F(\alpha)$ .