Una forma bilineal $B(x,y)$ satisface $B(a,b)B(c,a)=B(b,a)B(a,c)$ implica que es simétrica o asimétrica.

Question

Pregunta:

Si una forma bilineal $B(x,y)$ satisface para $\forall a,b,c \in V_{\Bbb{F}}$$$ B(a,b)B(c,a)=B(b,a)B(a,c) $$Then $ B(x,y)$ es simétrica o asimétrica.

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Si dejo que $c=a+b$ , entonces obtenga $B(a,a)\left[B(a,b)-B(b,a)\right]=0\cdots(*)$ . Si $\text{char}(\Bbb{F})\not=2$ entonces $B(a,a)=0\cdots(1)$ pour $\forall a \in V_{\Bbb{F}}$ $\Longleftrightarrow$$ B(x,y) $ is skew-symmetric. and $ B(a,b)-B(b,a)=0\cdots(2) $ for $ \para todos los a,b en V_{{Bbb{F}} $ means $ B(x,y) $ is symmetric. But I can't deduce$ (1) $ and $ (2) $ from $ (*)$. ¿Podría ayudarme?

Answer 1

No sé cómo arreglar tu argumento, pero desde el punto de vista de la teoría matricial, la prueba es bastante sencilla (a pesar de ser un poco larga). Por comodidad, escribo $V$ en lugar de $V_{\mathbb{F}}$ .

Basta con demostrar la afirmación para el caso de dimensión finita, pues, si $B$ no es ni simétrica ni asimétrica, entonces existe $u,v,x,y\in V$ tal que $B(u,v)\ne B(v,u)$ y $B(x,y)\ne-B(y,x)$ ; por lo que $B$ no es ni simétrica ni asimétrica en el subespacio de dimensión finita (en realidad, como máximo cuatro) abarcado por $u,v,x,y$ .

Supongamos que $V$ es de dimensión finita. Entonces podemos identificar $B$ con su representación matricial, y \begin{align*} B(a,b)B(c,a) \equiv B(b,a)B(a,c) &\Leftrightarrow B(c,a)B(a,b) \equiv B(b,a)B(a,c)\\ &\Leftrightarrow c^\top Baa^\top Bb \equiv b^\top Baa^\top Bc\\ &\Leftrightarrow Baa^\top B \equiv (Baa^\top B)^\top\\ &\Leftrightarrow BSB=B^\top SB^\top \text{ for every symmetric matrix } S.\tag{1} \end{align*}

Si $\operatorname{char}(F)=2$ considerando cada $S$ con un par simétrico de unos fuera de la diagonal y ceros en el resto, $(1)$ implica inmediatamente que $B$ es simétrica (por lo tanto, también es simétrica).

Supongamos que $\operatorname{char}(F)\ne 2$ . Podemos reescribir $(1)$ como $$KSH+HSK = 0 \text{ for all symmetric matrix } S,\tag{2}$$ donde $H$ y $K$ denotan respectivamente la parte simétrica y la parte asimétrica de $B$ (la descomposición de $B$ en $H+K$ es posible porque $\operatorname{char}(F)\ne 2$ ). Aplicando una transformación de congruencia $H\leftarrow P^\top HP,\ K\leftarrow P^\top KP$ podemos suponer que $H$ es una matriz diagonal de bloques de la forma $$ \pmatrix{\widehat{H}&0\\ 0&0_{m\times m}}, $$ donde $m$ es la nulidad del mapa lineal $x\mapsto Hx$ y $\widehat{H}$ es simétrica e invertible. Se deduce de $(2)$ que en la misma partición, todos los subbloques de $K$ excepto el principal principal, son cero. Por lo tanto,

• si $H\ne0$ podemos poner $S=\operatorname{diag}(\widehat{H}^{-1},\ 0_{m\times m})$ y obtener $2K=0$ es decir $B$ es simétrica;
• si $H=0$ entonces $B$ es simétrica.