Argumenta que $f$ no es uniformemente continua

Question

Sea $f(x)=x^3$. Queremos demostrar que $f$ no es uniformemente continua.

¿Alguien puede explicar cómo se deduce de $|f(x_n)-f(y_n)=\big|(n+\frac{1}{n})^3 - n^3)\big| = 3n+\displaystyle\frac{3}{n}$? ¿Cómo se obtiene $3n+\displaystyle\frac{3}{n}$ a partir de $\big|(n+\frac{1}{n})^3-n^3\big|$? ${}{}{}{}$

Answer 1

La primera parte es simplemente el Teorema del Binomio: $$ \left(n + \frac{1}{n}\right)^3 = n^3 + 3 n^2 \cdot \frac{1}{n} + 3 n \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} = n^3 + 3n + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^3} $$ Entonces $$ \left(n + \frac{1}{n}\right)^3 - n^3 = 3n + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^3} $$ El autor parece omitir el término $\frac{1}{n^3}$, pero no importa. La expresión sigue siendo $>3$, que es el punto.

Answer 2

La identidad algebraica $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Answer 3

Te falta el término $\frac{1}{n^3}$. De hecho, $$\left(n+\frac{1}{n}\right)^3-n^3=n^3+3n^2\frac{1}{n}+3n\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}-n^3=3n+3\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}$$