Tienes razón. Dado que "en coordenadas" debe ser local de todos modos, supongamos que $X=\operatorname{Spec}(A)$ es afín y $A=k[x_1,\ldots,x_n]$ es una entidad finitamente generada $k$ -Álgebra. Ahora $g$ corresponde a un homomorfismo de anillo $g^\sharp: A\to A$ que se define por $g^\sharp(\varphi)=\varphi\circ g$ . La condición $\pi\circ g = \pi$ significa que $g^\sharp$ no es sólo un homomorfismo de anillo, sino que es un homomorfismo de $k$ -algebras. De hecho, $\pi^\sharp:k\to A$ es la incrustación de $k$ en $A$ y $g^\sharp(\pi^\sharp(t))=g^\sharp(t\circ\pi)=t\circ\pi\circ g=t\circ\pi=\pi^\sharp(t)$ así que $g^\sharp$ es la identidad en $k$ (Aquí, pienso en $t\in k$ como una función constante en el espacio $\operatorname{Spec}(k)=\{\ast\}$ ).
Desde $g^\sharp$ es un $k$ -es completamente definido por sus valores en las coordenadas $g^\sharp(x_i)$ y éstas, a su vez, son expresiones polinómicas en el $x_i$ con ciertos coeficientes en $k$ Así que $g^\sharp$ está completamente definido por un conjunto de valores en $k$ .
Más concretamente, si $p\in X$ tiene las coordenadas $p_i=x_i(p)$ entonces las coordenadas de $g(p)$ son precisamente los $(x_i\circ g)(p)=g^\sharp(x_i)(p)$ que son expresiones polinómicas en el $p_i$ .
