Cuestión de idempotencia - comprobación de pruebas

Question

Si $X$ es una matriz simétrica con $X^s = X^{s+1}$ donde $s$ es un número entero mayor o igual a $1$ . Demostrar que $X$ es idempotente.

Intento:

$X^s = X^{s+1}$

$XX^s = XX^{s+1}$

$X^{s+1}$ = $X^{s+2}$

$XX^s = X^sX^2$

$X = (X^s)^{-1}X^sX^2$

$X = IX^2$

$X = X^2$ Por lo tanto $X$ es idempotente.

Lo que me hace pensar que esto está mal es que no he utilizado el hecho de que $X$ es simétrico, lo que me hace preguntarme por qué se indica en la pregunta. Además, me pareció demasiado simple y es fácil cometer errores con el álgebra matricial. Agradecería mucho si alguien puede confirmar que esta es la forma de responder a esta pregunta.

Answer 1

Usted asumió que $X$ es invertible. Esto no está permitido.

La prueba es la siguiente:

$X$ es simétrica, por lo que $X$ es diagonalizable, por lo que el polnomio mínimo se divide en factores lineales distintos. Por otro lado, el polinomio mínimo es un divisor de $t^s(t-1)$ . Por lo tanto, es un divisor de $t(t-1)=t^2-t$ . Por lo tanto, $X$ es idempotente.

En realidad, la prueba lo demuestra: Si $X$ es diagonalizable y $X^s=X^{s+1}$ para algunos $s \geq 1$ entonces $X$ es idempotente.