¿Existe una función base en la que su función inversa esté en la misma base?

Question

Estoy interesado en encontrar una función base $\phi(x)$ que puedo usar para aproximar alguna función

$y(x) \approx \hat{y}(x) = \sum\limits_i c_i \phi_i((x - d_i)/s_i)$ ,

donde su función inversa, $\phi^{-1}(x)$ , está en la misma base. Es decir:

$\phi^{-1}(x) = l\phi((x - m)/n)$ .

¿Existe esta función? ¿O hay alguna forma de demostrar que no existe?

Answer 1

Considere $$\phi(x)=\begin{cases}-2x,\quad &x\le 0 \\ -x/2, \quad & x\ge 0\end{cases}$$ Claramente $\phi^{-1}=\phi$ . Y puedes utilizar las traslaciones y dilataciones de $\phi$ para producir cualquier función lineal a trozos, hasta una constante aditiva: efectivamente, $\phi'$ es una masa puntual en cero, lo que significa que una combinación lineal de copias escaladas y trasladadas de $\phi$ puede ser cualquier combinación finita de masas puntuales.