Dejemos que $R$ sea un anillo. Supongamos que $\emptyset\neq A\subseteq R$ y $$a,b\in A\implies a+b\in A,$$ $$r\in R\ \text{and}\ a\in A\implies ar,ra\in A .$$
Supongamos además que para cada $a\in A,$ existe un número entero $n\neq 0$ tal que $na\in aR+Ra$ . Es necesario demostrar que $A$ es un ideal de $R$ . Creo que lo único que hay que demostrar es que $$a,b\in A\implies a-b\in A.$$
Sin embargo, no puedo entender cómo proceder después del siguiente punto.
Supongamos que $a,b\in A$ . Entonces existe $m\neq 0$ tal que $ma=ar_1+r_2a$ y $n\neq 0$ tal que $nb=bs_1+s_2b$ , donde $r_1,r_2,s_1,s_2\in R$ .
Por favor, dame una pista. Gracias.
Añadido más tarde: $R$ se puede incrustar en un anillo con identidad de la siguiente manera. Consideremos $R\times\mathbb{Z}$ con la adición definida como $(r,m)+(s,n)=(r+s,m+n)$ y la multiplicación definida como $(r,m)(s,n)=(rs+nr+ms, mn)$ . Entonces $R\times \mathbb{Z}$ es un anillo con identidad a saber $(0,1)$ . Además, tenemos $R\cong R\times\{0\}$ con $R\times\{0\}$ un subring de $R\times \mathbb{Z}$ . Así que $R$ está incrustado en un anillo con identidad.
Ahora tomemos $a,b\in A$ . Considere $(a,0),(b,0)\in A\times \{0\}$ . Entonces $(a-b,0)=(a,0)+(0,-1)(b,0)\in A\times \{0\}$ . Así que $a-b\in A$ . Por lo tanto, $A$ es un ideal.
¿Está bien este argumento?
¿Por qué la estipulación "para cada $a\in A,$ existe un número entero $n\neq 0$ tal que $na\in aR+Ra$ ¿"dado"?
