¿Por qué no dividir el $a^n - b^n$ $a^n + b^n$?

Question

Estoy trabajando a través de los problemas en el libro de teoría número de Niven, y problema 46 en la sección 1.2 (página 19) me tiene perplejo.

Demostrar que no hay enteros positivos $a, b, n > 1$, que $(a^n - b^n) | (a^n + b^n)$.

He intentado jugar un poco (por ejemplo, notar que $a^n - b^n$ debe dividir $2a^n$ y $2b^n$), pero en general he justo en círculos. ¿Alguien puede por favor proporcionar una pizca (pequeña) en la dirección correcta?

Answer 1

Como usted dijo, implicaría que existe un número entero $k$ tal que $ka^n - kb^n = 2b^n$. A continuación, $ka^n = (2+k)b^n$. Si $a$ $b$ tienen un factor común, podemos dividir ambos lados por la enésima potencia para conseguir la misma igualdad con $a$ $b$ relativamente primos.

De la misma manera, si $k$ es incluso, podemos dividir ambos lados por $2$, para obtener $ka^n = (k+1)b^n$. En este caso, $k$ $k+1$ son relativamente primos, por lo que $a^n = k+1$ $b^n = k$ . Pero esto no puede suceder porque los números consecutivos no son enésima potencia de un número entero.

Si $k$ no es ni siquiera, a continuación, $k$ $k+2$ son relativamente primos. De nuevo, $ka^n = (k+2)b^n$, implica entonces que $a^n = k+2$$b^n = k$. Pero esto no puede suceder.

Answer 2

1. Demostrar que es suficiente para buscar $a$, $b$ relativamente privilegiada.

2. Utilizar lo útil que usted ya ha notado.

Answer 3

Podemos suponer $a,b$ es coprimos. Supongamos que tenemos la relación, entonces tenemos $(m-1)a^{n}=(m+1)b^{n}$. Esto implicaría $\frac{m+1}{m-1}=(\frac{a}{b})^{n}$.