Aquí es una prueba del teorema de Alaoglu que me parece bonito (que podría ser en realidad el estándar de la prueba):
Si $X$ es una normativa espacio vectorial, la bola unidad cerrada $B^*=\{f\X^* : \|f\|\leq 1\}$ en $X^*$ es compacto en la débil* topología (esto es tomado de Folland del Análisis Real, Teorema 5.18).
Prueba
Dado un punto de $x\in X$, considerar el conjunto
$$D_x=\{z\in\mathbb{C}:|z|\leq\|x\|\}.$$
Tenga en cuenta que $D_x$ es compacto para todo $x$. Deje que $D=\prod_{x\in X}D_x$. Por el teorema de Tychonoff, $D$ es también compacto. Ahora damos un nuevo punto de vista. Es decir, se nota que $D$ coincide con el conjunto de todos los valores complejos de funciones $\phi$ en $X$ (no necesariamente continua) tales que $|\phi(x)|\leq\|x\|$ para todo $x\in X$ y $B^*$ es ahora un subconjunto de $D$ que consta de aquellas funciones que son lineales. Por definición, la débil* topología en $B^*$ es la topología de pointwise convergencia, que es exactamente la topología $B^*$ hereda de $D$. Por lo tanto, a la conclusión de que $B^*$ es compacto (en el débil* topología), es suficiente para mostrar que es un subconjunto cerrado de $D$.
Deje que $\{f_\alpha\}$ una cantidad neta de $B^*$ que converge a $f\in D$. Entonces, para todo $x,y\in X$ y $a,b\in\mathbb{C}$, tenemos
$$f(ax+by)=\lim f_\alpha(ax+by)=\lim (af_\alpha(x)+bf_\alpha(y))=af(x)+bf(y),$$
es decir, un límite lineal de los mapas es lineal. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $f\in B^*$, y por lo que $B^*$ se cierra en $D$.
La razón por la que me gusta esta es la prueba de que usted tiene que considerar un objeto de dos maneras diferentes, y es la interacción entre los diferentes puntos de vista que le permite probar el resultado. Cuando me enteré de análisis funcional (y todavía estoy aprendiendo), las diferentes topologías de guardado me confunde, y pruebas como esta me permitió entender estos conceptos.
