¿El conjunto de múltiplos enteros de dos números irracionales es denso en reales?

Question

Dejemos que $\alpha , \beta $ sean los números irracionales linealmente independientes sobre $\mathbb Q$ con $\alpha > \beta > 0 $ y $\mathrm A=\{n\alpha-m\beta \mid n,m \text{ are nonnegative integers} \}$

Cómo demostrar que $\mathrm A$ es denso en $\mathbb R$ ? ¿Es cierto?

Answer 1

Tenga en cuenta que

• $A$ se cierra bajo la adición
• $\inf A=-\infty$
• $\sup \{\,x\in A\mid x>0\,\}=0$ .

Lo primero es trivial, lo segundo se deduce de $\beta>0$ y sólo el tercero implica la $\Bbb Q$ -independencia lineal de $\alpha,\beta$ .