Soluciones enteras a $2^x +5^x = 3^x + 4^x$

Question

Encuentra el número de soluciones enteras (tanto positivas como negativas) de la ecuación: $$2^x +5^x = 3^x + 4^x$$ Se preguntó en un modelo de examen de ingreso.

Answer 1

Se puede demostrar fácilmente con la inducción, que para $x\geq 2$ tenemos $$5^x\geq 3^x+4^x$$

Es trivialmente cierto para $x=2$ y $x=3$ . Ahora digamos que es cierto para $x$ y probarlo para $x+2$ : $$5^{x+2} \geq 5^2(3^x+4^x) = (3^2+4^2)(3^x+4^x) > 3^{x+2}+4^{x+2}$$

Así que la ecuación no tiene solución para $x\geq 2$ . Claramente $x=0$ y $x= 1$ son soluciones.

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Si $x<0$ puedes escribir $x=-n$ donde $n$ es un número entero positivo y obtenemos $$3^n\cdot 4^n(2^n+5^n) = (3^n+4^n)2^n\cdot 5^n$$ así que $ 3^n\mid 40^n$ lo cual es claramente un sinsentido y por lo tanto no tiene solución (para los negativos $x$ ).

Answer 2

Dejemos que $f(x)= x^n +(7-x)^n$ . Sea $f(2)=f(3)$ ( es decir $2^{n} +5^{n} = 3^{n} + 4^{n}$ ). Por el teorema del valor medio $\exists$ $ c$ tal que c $\in(2,3)$ $f'(c)=0$ es decir $nx ^{(n-1)}- n(7-x) ^{n-1}=0$ ⇒ $x ^{(n-1)} - (7-x) ^{n-1}=0$ para algún valor de $x$ perteneciente a $(2,3)$ lo cual es claramente posible si $n=0,1$ ( ya que esto implica $x ^{(n-1)} = (7-x) ^{n-1}$ => $ x=3.5$ que está fuera de rango).

Answer 3

Desde $f(a)=a^x$ es cóncavo para $x\in[0,1]$ y convexo para $x\not\in(0,1)$ las definiciones de concavidad y convexidad diga $$ \begin{align} \color{#C00}{3^x}+\color{#090}{4^x} &=\color{#C00}{\left(\frac23\cdot2+\frac13\cdot5\right)^x}+\color{#090}{\left(\frac13\cdot2+\frac23\cdot5\right)^x}\tag1\\[3pt] &{\ge\atop\le}\color{#C00}{\left(\frac23\cdot2^x+\frac13\cdot5^x\right)}+\color{#090}{\left(\frac13\cdot2^x+\frac23\cdot5^x\right)}{{\quad\text{if }x\in[0,1]}\atop{\quad\text{if }x\not\in(0,1)}}\tag2\\[6pt] &=2^x+5^x\tag3 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ : escribir $3$ y $4$ como combinaciones convexas de $2$ y $5$
$(2)$ : definición de $\text{concavity}\atop\text{convexity}$
$(3)$ : combina términos similares

Además, la igualdad sólo se mantiene si $f$ es lineal en $\{2,3,4,5\}$ y eso ocurre si $x\in\{0,1\}$ .