$f'(x) = c \cdot f(x)$ cuando $f$ es de valor complejo

Question

Dejemos que $c\in\mathbb{C}$ . Me gustaría resolver $\forall x\in\mathbb{R} f'(x) = c \cdot f(x)$ y $f(0)=1$ para $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ .

Si $c$ era real y $f$ fuera una función real, obtendría el conocido $f(x)=e^{cx}$ . No estoy seguro de cómo extenderlo a este caso.

Sólo para aclarar: me interesa encontrar todas las soluciones.

Answer 1

Es como el caso real. Si $f' = cf$ , entonces puede comprobar que $e^{-cx} f(x)$ tiene la derivada cero en todas partes, por lo tanto es constante. Se puede encontrar que esta constante es $1$ por $f(0)=1$ .