¿Existen campos algebraico cerrados finitos?

Question

Que $K$ sea un campo algebraicamente cerrado ($\operatorname{char}K=p$). $${\mathbb F}_{p^n}=\{x\in K\mid x^{p^n}-x=0\}.$ $ Es fácil demostrar que ${\mathbb F}_{p^n}$ consta de exactamente $p^n$ elementos que denotan.

Pero si $|K|<p^n$, tenemos colisión con la declaración anterior (ya ${\mathbb F}_{p^n}$ subcampo de $K$).

Así que, ¿hay que cualquier finito algebraicamente cerrada campos? ¿Y si existen, donde he cometí un error?

Gracias.

Answer 1

No, no existen los campos algebraicamente cerrados finitos. Para suponga $K$ es un campo finito; entonces el polinomio $$f(x)=1+\prod_{\alpha\in K}(x-\alpha)\in K[x]$ $ no tiene ninguna raíces en $K$ (porque $f(\alpha)=1$ para cualquier $\alpha\in K$), por lo que $K$ no puede ser algebraico cerrado.

Tenga en cuenta que $K=\mathbb{F}_{p^n}$, el polinomio es %#% $ #%

Answer 2

% Toque $\rm\:F[x]\:$tiene infinitamente muchos números primos para cada campo $\rm\:F\:$ imitando la prueba de Euclides para los números enteros. En particular, si $\rm\:F\:$ es algebraicamente cerrada, hay infinitamente muchos números primos nonassociate $\rm\ x - a_i\:$ por lo tanto, hay infinitamente muchos elementos $\rm\:a_i\in F\:.\:$

Nota $\ $ esto explica la génesis del polinomio en respuesta de Zev.

Answer 3

Como otros han dicho, no se puede finito algebraicamente cerrado campos (y si los hubiera, la geometría algebraica sería otro tema de lo que es;-). En realidad, puede ser cualquier campo finito $K$ sobre el que todos cuadrática polinomios con raíces, por la siguiente cuenta simple argumento.

Deje $q=|K|$, entonces no se $q$ monic grado $1$ polinomios $X-a$, y de manera similar a $q^2$ monic grado $2$ polinomios $X^2+c_1X+c_0$$K[X]$. Por conmutatividad sólo hay $\frac{q^2+q}2$ productos distintos de dos grados $1$ polinomios, en la que abandona $q^2-\frac{q^2+q}2=\binom{q}2$ irreductible monic polinomios cuadráticos. (Incluso sin el uso de factorización única, se obtiene , al menos, tantos monic polinomios irreducibles.)

De hecho, hay fórmulas en términos de $q$ para el número de (monic) polinomios irreducibles sobre $K$ de cualquier grado, obtenido por la inclusión–exclusión principio.

Estas fórmulas muestran que, si el mitológico de campo con $1$ elemento existiera, sería algebraicamente cerrado.

Añadido: resulta que encontrar el número de monic polinomios irreducibles sobre $K$ de un grado determinado utilizando sólo la inclusión–exclusión (y nada sobre campos finitos) queda bastante peludo. Más bien, uno puede utilizar la existencia de un campo finito $K'$ orden $q^n$ encontrar la fórmula. Todos los elementos de a $K'$ tienen un mínimo polinomio de grado $d$ dividiendo $n$, ya que están contenidas en un subcampo de la orden de $q^d$, e inversamente todos los $d$ raíces de un polinomio irreducible son distintos y están en $K'$. Entonces si $c_d(q)$ cuenta los polinomios irreducibles de grado $d$$K$, uno ha $\sum_{d|n}dc_d(q)=q^n$. A partir de este un Möbius inversión argumento (que es una forma de inclusión–exclusión) da $$ c_n(q)=\frac{\sum_{d|n}\mu(n/d)p^d }n $$ donde $\mu$ es la clásica función de Möbius.