Si $f(x)^2$ es convexo y $f(x)>1$ , lo hace $\arg\min_x f(x)^2=\arg\min_x f(x)$ ?

Question

No estoy seguro, tal vez sea trivial... Pensé en eso durante mi ducha esta mañana.

Mi intuición es la siguiente. Sea $x'=\arg\min_x f(x)^2$ . Para todos los $h$ , deberíamos tener $$f(x+h)^2\ge f(x)^2$$ Entonces, como $f(x)>1$ tenemos $f(x)^2\ge f(x)$ . Por lo tanto, también tenemos $$f(x+h)^2\ge f(x)^2 \ge f(x)$$ Y ahora.... Estoy atascado.

Answer 1

Dejemos que $D$ el conjunto de la definición de $f$ y $x'=\arg\min_x f(x)^2$ entonces

$f(x')^2 \le f(x)^2$ para todos $x \in D$ .

Desde $f>1$ en $D$ tenemos $f>0$ en $D$ Por lo tanto

$f(x') \le f(x)$ para todos $x \in D$ .