Si $X \sim \text{Exp}(1)$ , demuestran que $\sqrt X$ sigue una distribución de Rayleigh.

Question

Tengo la tarea de demostrar que si $$X \sim \text{Exp}(1)$$ entonces $$\sqrt X \sim \mathrm{Rayleigh}\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)$$

¿Cómo empiezo desde aquí?

Para $X\sim$ exponencial, sé que el pdf se define como $$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$$ y para Rayleigh
$$f_X(x) = \frac{x}{\lambda ^2} e^{\frac{-(\lambda x)^2}{2}}$$

Answer 1

¿Cómo empiezo?

Observe que $Y = \sqrt X$ es uno a uno sobre los posibles valores de $X$ . De ahí que pueda utilizar la transformación uno a uno; $X = Y^2$ y así $$f_Y(y) = \frac{f_X(y^2)}{\left|\frac{dy}{dx}\right|_{x = y^2}}.$$

De lo contrario, puede utilizar el método cdf, $$P(Y\leq y) = P(\sqrt X\leq y) = P(X\leq y^2).$$