¿Quizás pueda hacer la siguiente aproximación? El voltaje se enciende tan lentamente que los electrones encuentran su camino cerca de la superficie de forma ordenada y luego se exponen lentamente en la superficie. De esta manera, la densidad de corriente es la misma en toda la superficie y sólo en la dirección normal de la superficie.
Creo que "corriente superficial" es algo engañoso. Yo pensaría en una corriente a lo largo de la superficie. Esto ocurrirá cuando tengas el cable conectado a un lado del condensador y dejes que las cargas fluyan hacia dentro. Aquí supondré que allí el cambio de tensión es tan lento que se pueden despreciar las corrientes tangenciales y sólo queremos la corriente que es normal a la superficie.
El cargo $Q$ que un condensador puede mantener en una de las placas depende de la capacidad $C$ y la tensión $V$ como $Q = CV$ . Las nuevas cargas que llegan a la superficie cuando el voltaje se incrementa en $\Delta V$ es $\Delta Q = C \, \Delta V$ . Estas nuevas cargas se distribuyen uniformemente en toda la superficie.
Para una corriente $I$ también tenemos $Q = I T$ , después de un tiempo $T$ la carga $Q$ será transferido por la corriente. Una densidad de corriente $i$ se puede obtener dividiendo por el área $A$ Así que $i = I/A$ .
A partir de esto deberías ser capaz de calcular la densidad de corriente en la superficie. Si te has quedado atascado o has terminado, puedes seguir leyendo.
Dividimos la relación anterior por algún intervalo de tiempo corto $\Delta t$ , toma el límite $\Delta t \to 0$ y terminar con una derivada del tiempo. Así que la expresión es $\dot Q = C \dot V$ . Pero $\dot Q = I$ ya. Dividimos por la superficie $A$ del condensador y obtener $i = C \dot V / A$ .
