¿Cómo demostrar las siguientes identidades?

Question

Pruébalo:

$$\begin{align} \tan(A) + \cot(A) & = 2 \text{cosec}(2A)\\ \tan(45^{\circ}+A^{\circ}) - \tan(45^{\circ}-A^{\circ}) & = 2 \tan(2A^{\circ})\\ \text{cosec}(2A) + \cot(2A) & = \cot(A) \end{align}$$

Tengo todas las fórmulas que necesito pero no he podido resolverlas. ¿Alguna ayuda, por favor?

Answer 1

Sugerencia
1) $\tan a+\cot a=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}$ . Lleva a un denominador común y utiliza las identidades que conoces. (Recuerda que $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ ).
2) Utilice la misma pista del punto 1. Utilice las fórmulas para $\sin(a+b)$ y $\cos(a+b)$ .
3) La misma pista de la 1.

Answer 2

EDITADO. En general hay dos técnicas diferentes que podemos utilizar para demostrar una identidad trigonométrica $A=B$ . Uno de ellos es transformar un lado en el otro: $$A=A_1=A_2=\dots =A_n=B.$$ La otra es mirar la identidad $A=B$ como un todo y convertirlo en uno equivalente y repetir el proceso hasta encontrar una identidad conocida: $$A=B\Leftrightarrow A'=B'\Leftrightarrow A''=B''\Leftrightarrow\dots\Leftrightarrow A^{*}=B^{*}.$$ Los siguientes consejos están destinados a probar su $3^{rd}$ identidad mediante esta segunda técnica. Utilice $$\frac{\cos 2A}{\sin 2A}=\frac{2\cos ^{2}A-1}{2\sin A\cos A}=\frac{% \cos A}{\sin A}-\frac{1}{2\sin A\cos A}$$ para obtener $$\csc 2A+\cot 2A=\cot A\Leftrightarrow \frac{1}{2\cos A}+\cos A-\frac{1}{% 2\cos A}=\cos A.$$

Añadido . Prueba:

$$\csc 2A+\cot 2A=\cot A\tag{1}$$

$$\begin{eqnarray*} &\Leftrightarrow &\frac{1}{\sin 2A}+\frac{\cos 2A}{\sin 2A}=\frac{\cos A}{% \sin A} \\ &\Leftrightarrow &\frac{\sin A}{\sin 2A}+\frac{\cos 2A}{\sin 2A}\sin A=\cos A \\ &\Leftrightarrow &\frac{1}{2\cos A}+\left( \frac{\cos A}{\sin A}-\frac{1}{% 2\sin A\cos A}\right) \sin A=\cos A \\ &\Leftrightarrow &\frac{1}{2\cos A}+\left( \cos A-\frac{1}{2\cos A}\right) =\cos A \\ \end{eqnarray*}$$

$$\Leftrightarrow \cos A=\cos A\tag{2},$$

que es una identidad. Así, $(1)$ también es una identidad.

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Su $1^{st}$ La identidad se puede demostrar mediante la primera técnica:

$$\begin{eqnarray*} \tan A+\cot A &=&\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\sin ^{2}A+\cos ^{2}A}{\cos A\sin A} \\ &=&\frac{1}{\cos A\sin A}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin (2A)}{2}}=\cdots \end{eqnarray*}$$

Answer 3

Para el segundo:

• $2)$ Llame a $\alpha = \frac{\pi}{4} +A$ y $\beta= \frac{\pi}{4}-A$ . Así que tienes $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cot(\alpha+\beta) = 0$ . A partir de esto tienes $$\frac{1}{\tan(\alpha+\beta)} = \frac{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}}{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}=0 \Rightarrow \tan{\alpha} \cdot \tan{\beta}=1$$ Ahora bien, tenga en cuenta que $\alpha - \beta= 2A$ y así tenemos de nuevo $$\begin{align*} \tan(\alpha-\beta) &= \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)} \\ &= \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{2} \\ \Rightarrow \ 2\tan(2A)&= \tan(\alpha)- \tan(\beta) \end{align*}$$

• $3)$ Usted tiene : $$\begin{align*} \csc{2A} + \cot{2A} &= \frac{1}{\sin{2A}} + \frac{\cos{2A}}{\sin{2A}} \\ & = \frac{1+\cos{2A}}{\sin{2A}} \\ &= \frac{1+\cos^{2}{A} - \sin^{2}{A}}{2 \cdot \sin{A} \cdot \cos{A}} \\ &= \frac{2 \cdot\cos^{2}{A}}{2 \cdot \sin{A} \cdot \cos{A}} = \cot(A)\end{align*}$$