Dejemos que $A$ sea un unital $C^*$ -y el álgebra $a\in A$ tal que $r(a) < 1$ . Definir b = $(\sum_{n=0}^\infty (a^*)^n a^n)^{1/2}$ . Podemos demostrar que $b\geq e$ y que $b$ es invertible. Quiero demostrar $\| b a b^{-1} \| < 1$ .
A partir de la definición de $b$ vemos que $a^* b^2 a = b^2-e$ y sabemos $r(bab^{-1}) = r(a) <1$ .
Por lo tanto, basta con demostrar $r(b a b^{-1}) = \| b a b^{-1} \|$ . Se puede deducir del hecho de que $c = ba b^{-1}$ es un elemento normal... No sé cómo probarlo (he intentado comparar $c^* c$ y $c c^*$ ...).
Contexto: La pregunta aparece en el libro de Murphy, página 74. He conseguido demostrar la primera parte. La segunda parte de la pregunta es demostrar $$r(a)= \inf_{c\in Inv(A)}\{\|cac^{-1} \| \}$$ Es fácil ver $$r(a) \leq \inf_{c\in Inv(A)}\{\|cac^{-1} \| \}$$ Pero no puedo probar $$r(a) \geq \inf_{c\in Inv(A)}\{\|cac^{-1} \| \}$$ Si hemos tenido $r(a) = \|b a b^{-1} \|$ entonces era obvio... Pero esto no es cierto, así que ¿cómo podemos demostrar esta desigualdad?
