La derivación de Feynman es maravillosa, y quiero esbozar por qué esperaríamos que funcionara, y qué suposiciones implícitas está haciendo realmente. El verdadero problema es que al cambiar de un lado a otro entre la notación cuántica y la clásica, Feynman introduce a hurtadillas suposiciones físicas que son lo suficientemente restrictivas como para determinar las ecuaciones de Maxwell de forma única.
Para demostrarlo, daré una prueba similar en notación totalmente clásica y relativista. Por la localidad, esperamos que la fuerza sobre una partícula en la posición $x^\mu$ con impulso $p^\mu$ depende únicamente de $p^\mu$ y $F(x^\mu$ ). (Esta es la Ec. 1 en el documento.) Entonces la expresión más general posible para la fuerza cuádruple relativista es $$\frac{d p^\mu}{d\tau}= F_1^\mu(x^\mu) + F_2^{\mu\nu}(x^\mu)\, p_\nu + F_3^{\mu\nu\rho}(x^\mu)\, p_\nu p_\rho + \ldots$$ donde tenemos una serie infinita de $F_i$ tensores que representan el campo $F$ . (Por supuesto, ya utilizamos implícitamente la invariancia rotacional para obtener esto.) Suprimiré el $x^\mu$ para ahorrar espacio.
Está claro que necesitamos más supuestos físicos en este punto ya que el $F_i$ son demasiado generales. El siguiente paso es asumir que el Lagrangiano $L(x^\mu, \dot{x}^\mu, t)$ es cuadrática en la velocidad. Diferenciando, esto implica que la fuerza debe ser como máximo lineal en el momento, por lo que tenemos $$\frac{d p^\mu}{d\tau}= F_1^\mu + F_2^{\mu\nu}\, p_\nu.$$ Esta es una suposición bastante fuerte, así que ¿cómo la introdujo Feynman? Está en la ecuación 2, $$[x_i, v_j] = i \frac{\hbar}{m} \delta_{ij}.$$ Ahora, para pasar de la mecánica hamiltoniana clásica a la mecánica cuántica, realizamos la prescripción de Dirac de sustituir los corchetes de Poisson por conmutadores, lo que da lugar a las relaciones de conmutación canónicas $[x_i, p_j] = i \hbar \delta_{ij}$ donde $x_i$ y $p_i$ son clásicamente conjugados canónicamente. Así, la Ecuación 2 de Feynman utiliza implícitamente la ecuación de aspecto inocuo $$\mathbf{p} = m \mathbf{v}.$$ Sin embargo, como el momento se define como $$p \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$$ esto es realmente una afirmación de que la lagrangiana es cuadrática en la velocidad, por lo que la fuerza es como máximo lineal en la velocidad. De este modo, obtenemos una fuerte restricción matemática utilizando un resultado físico familiar e intuitivo.
La siguiente suposición física es que la fuerza no cambia la masa de la partícula. Feynman hace esto implícitamente al pasar de la Ecuación 2 a la Ecuación 4 al no incluir un $dm/dt$ término. Por otra parte, dado que $p^\mu p_\mu = m^2$ , en nuestra notación $dm/dt = 0$ es equivalente a la restricción no trivial $$0 = p_\mu \frac{dp^\mu}{d\tau} = F_1^\mu p_\mu + F_2^{\mu\nu} p_\mu p_\nu.$$ Para que esto se mantenga siempre, necesitamos $F_1 = 0$ y $F_2$ (en adelante denominado $F$ ) sea un tensor antisimétrico y, por tanto, una forma diferencial de rango dos. Ahora hemos recuperado la ley de fuerza de Lorentz $$\frac{d p^\mu}{d\tau} = F^{\mu\nu} p_\nu.$$
Nuestra siguiente tarea es restablecer las ecuaciones de Maxwell. Eso parece imposible porque no sabemos nada de la dinámica del campo, pero de nuevo la simplicidad del hamiltoniano ayuda. Dado que es como máximo cuadrático en el momento, la forma más general es $$H = \frac{p^2}{2m} + \mathbf{A}_1 \cdot \mathbf{p} + A_2.$$ Recogida de $\mathbf{A}_1$ y $A_2$ en un cuatro vector $A^\mu$ Las ecuaciones de Hamilton son $$\frac{dp^\mu}{d\tau} = (dA)^{\mu\nu} p_\nu$$ donde $d$ es la derivada exterior. Es decir, la simplicidad del hamiltoniano obliga al campo $F$ para ser descrito en términos de un potencial, $F = dA$ . Desde $d^2 = 0$ concluimos $$dF = 0$$ que contiene dos de las ecuaciones de Maxwell, concretamente la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday. Hasta ahora no hemos utilizado realmente la relatividad, sólo hemos trabajado en notación relativista, y de hecho es aquí donde nuestra derivación y la de Feynman se agotan. Para obtener las otras dos ecuaciones, necesitamos la relatividad propiamente dicha.
La conclusión básica es que la derivación de Feynman es genial, pero no completamente misteriosa. En particular, no está realmente mezclando la mecánica clásica y la cuántica en absoluto -- las ecuaciones cuánticas que Feynman utiliza son equivalentes a las clásicas derivadas de Las ecuaciones de Hamilton porque está utilizando el procedimiento de cuantificación de Dirac, por lo que el único propósito real de la mecánica cuántica es deslizar $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ y, por extensión, el hecho de que el hamiltoniano sea muy simple, es decir, cuadrático en $\mathbf{p}$ . Los otros supuestos son la localidad y la conservación de la masa.
No es de extrañar que el electromagnetismo salga casi "gratis", porque el espacio de las teorías posibles está realmente muy restringido. En el marco más general de la teoría cuántica de campos, podemos obtener las ecuaciones de Maxwell asumiendo localidad, simetría de paridad, invariancia de Lorentz y que existe una fuerza de largo alcance mediada por una partícula de espín 1, como se explica en otra parte de este sitio. Esto tiene consecuencias para la física clásica, porque la única física clásica que podemos observar son aquellos campos cuánticos que tienen un límite clásico sensible.
