¿Lo que ' s el límite de $(1-1/2)(1-1/4)(1-1/8)...$?

Question

Lo sé

$$\prod_1^\infty \left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$

converge a un número positivo porque el $\sum 2^{-n}$ de la serie es convergente. ¿Sabemos el límite? Si es así, ¿cómo?

a un lado: Estoy interesado en este producto porque asintóticamente describe la fracción de $n\times n$ matrices con entradas en $\mathbb{F}_2$ que son nonsingular.

Answer 1

Deje $$P = \prod_{n\ge 1} \left(1 - \frac{1}{2^n} \right).$$ Introducir $$S = \log P = \sum_{n\ge 1} \log\left(1 - \frac{1}{2^n} \right).$$

Ahora recuerdo que el armónico de la suma de la identidad de Mellin transforma: $$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) = \left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$ donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$

La introducción de $$S(x)= \sum_{n\ge 1} \log\left(1 - \frac{1}{2^{nx}} \right)$$ de modo que $S=S(1)$ vemos que $S(x)$ es armónico con los parámetros de $$\lambda_k = 1, \quad \mu_k = k \quad\text{y}\quad g(x) = \log\left(1 - \frac{1}{2^x} \right)$$ y puede ser evaluado (aproximado) por la inversión de sus Mellin transformar.

Ahora, $$\mathfrak{M}\left(\log\left(1 - \frac{1}{2^x} \right);s\right) = \int_0^\infty \log\left(1 - \frac{1}{2^x} \right) x^{m-1} dx = - \int_0^\infty \sum_{q\ge 1} \frac{2^{-qx}}{p} x^{m-1} dx.$$ Este es $$-\frac{\Gamma(s)}{(\log 2)^s} \sum_{q\ge 1} \frac{1}{q} \frac{1}{q^s} = -\frac{\Gamma(s)}{(\log 2)^s} \zeta(s+1).$$ De ello se desprende que la transformada de Mellin $S(x)$ es $$Q(s) = \mathfrak{M}(S(x); s) = -\frac{1}{(\log 2)^s}\Gamma(s)\zeta(s)\zeta(s+1).$$ Realice ahora Mellin de inversión con la inversión de ser integral $$\frac{1}{2\pi i} \int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} Q(s)/x^s ds$$ y el cambio de la integral a la izquierda por una expansión de alrededor de cero. Sólo hay tres singularidades a tener en cuenta porque el trivial de los ceros de los dos zeta función términos cancelar los polos de la función gamma.

Tenemos $$\operatorname{Res}(Q(s)/x^s; s=1) = -1/6\,{\frac {{\pi }^{2}}{\log 2\times x}},$$ $$\operatorname{Res}(Q(s)/x^s; s=0) = 1/2\,\log \left( 2\,\pi \right) -1/2\,\log \log 2 -1/2\,\log x$$ y $$\operatorname{Res}(Q(s)/x^s; s=-1) = 1/24\,\log 2 \times x.$$ Poner a $x=1$ obtenemos que $$S(1) = S \aprox -1/6\,{\frac {{\pi }^{2}}{\log 2}} + 1/2\,\log \left( 2\,\pi \right) -1/2\,\log \log 2 + 1/24\,\log 2.$$ Esta aproximación es excelente (bueno a $24$ dígitos), pero no es exacto. E. g. establecimiento $x=1/2$ cual es más cercano a cero obtenemos $50$ buena dígitos, establecimiento $x=1/5$ obtenemos $123$ buena dígitos y así sucesivamente.

La conclusión es que $$ P \aprox e^{-\pi^2/6/\log 2} \times \sqrt{2\pi} \times \frac{2^{1/24}}{\sqrt{\log 2}} \aprox 0.2887880950866024212788997.$$

Answer 2

Esta es una tautología, pero su producto es un $q$ - Pochhammer símbolo $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})_\infty$. Una conexión a las funciones de Jacobi-theta es:

ps

donde$$\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)_\infty=\frac{2^{1/24}}{\sqrt{3}}\vartheta_2\left(\frac{1}{6}\pi,\frac{1}{2^{1/6}}\right)$ es la función theta de Jacobi.