¿La convergencia puntual implica la convergencia uniforme en un subconjunto grande?

Question

Supongamos que $f_n$ es una secuencia de funciones de valor real sobre $[0,1]$ que converge puntualmente a cero.

1. ¿Existe un subconjunto incontable $A$ de $[0,1]$ para que $f_n$ converge uniformemente en $A$ ?

2. ¿Existe un subconjunto $A$ de $[0,1]$ de cardinalidad el continuo para que $f_n$ converge uniformemente en $A$ ?

Antecedentes: El teorema de Egoroff implica que la respuesta a (2) es afirmativa si todos $f_n$ son medibles por Lebesgue. No es difícil demostrar que la respuesta a (1) es afirmativa si se cambia "incontable" por "infinito".

Motivación: Pensé en esta pregunta mientras enseñaba análisis real este trimestre, pero no pude resolverla ni siquiera después de mirar algunos libros, buscar en Google y preguntar a algunos colegas que son mucho más inteligentes que yo, así que la asigné como problema (bueno, un problema de crédito extra) a mi clase. Por desgracia, nadie me dio una solución.

AÑADIDO 11-12-10: Gracias por todas las grandes respuestas. He aceptado la respuesta de Jonas por ser la primera.

Answer 1

Un simple argumento de diagonalización da un contraejemplo si se asume la hipótesis del continuo. Sea un módulo de convergencia una secuencia $\delta:{\mathbb N}\to(0,\infty)$ que converge a 0, y decir que $\delta>\delta'$ si $\delta(n)>\delta'(n)$ para un tamaño suficientemente grande $n$ . Al diagonalizar, para cualquier conjunto contable $\{\delta_n\}$ de secuencias hay alguna $\Delta$ (que sigue convergiendo a 0) tal que $\Delta>\delta_n$ para todos $n$ .

Decimos que una secuencia $x_n$ converge a $x$ con módulo $\delta$ si $|x_n-x|<\delta(n)$ para todos $n$ . Entonces tenemos que $f_n$ converge a $f$ uniformemente si existe un único $\delta$ tal que $f_n(x)$ converge a $f(x)$ con módulo $\delta$ para todos $x$ .

Suponiendo ahora la hipótesis del continuo, el conjunto de todos los módulos y el conjunto de todos los puntos en $[0,1]$ están ambos en biyección con $\omega_1$ ; deja que $(\delta_\alpha)_{\alpha<\omega_1}$ y $(x_\alpha)_{\alpha<\omega_1}$ respectivamente, sean enumeraciones. Para cada $\alpha$ , dejemos que $\Delta_\alpha$ sea un módulo tal que $\Delta_\alpha>\delta_\beta$ para todos $\beta<\alpha$ (ya que sólo hay un número contable de tales $\beta$ ). Ahora dejemos que $f=0$ y definir $f_n(x_\alpha)=\Delta_\alpha(n)$ . Entonces $f_n(x_\alpha)$ converge a $f(x_\alpha)=0$ para todos $x_\alpha$ . Sin embargo, para cualquier módulo fijo $\delta=\delta_\beta$ , $f_n(x_\alpha)$ no puede converger con el módulo $\delta$ para $\alpha>\beta$ por construcción, por lo que sólo hay un número contable de puntos en los que $f_n$ converge uniformemente con el módulo $\delta$ .

Answer 2

He buscado en Google y he encontrado algo que parece relevante, Teorema 10 citado a continuación de Morgan's Teoría de conjuntos de puntos . Cita obras de Sierpiński de finales de los años 30, pero no puedo saber qué obras se citan porque la vista previa no me deja ver esa página en las referencias.

La existencia de un conjunto lineal con la potencia del continuo que se concentra en un conjunto denumerable es equivalente a la existencia de una secuencia puntualmente convergente de funciones de una variable real que no converge uniformemente en ningún conjunto incontable.

Answer 3

Para añadir un poco a la respuesta de Jonas Meyer.

El resultado de Sierpiński se publicó por primera vez en C.R. Soc. Sc. Varsovie 1928, p. 84-87. Fue reproducido en su monografía "Hipótesis de continuidad (Lwów, 1934, p. 52):

Propuesta $C_9$ . Existe una secuencia convergente infinita de funciones de una variable real
$f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x),...$ que convergen de manera no uniforme en cualquier conjunto incontable.

Sierpiński lo derivó efectivamente de la afirmación que implica la hipótesis del continuum (Ibid. p. 36):

Propuesta $C_1$ . Existe un conjunto lineal $N$ de potencia del continuo que admite un conjunto contable a lo sumo de puntos comunes con cualquier conjunto perfecto (lineal) no denso.

Answer 4

Este documento de R. Pinciroli afirma que la afirmación más fuerte:

$f_n$ converge uniformemente en conjuntos de medida exterior arbitrariamente cercanos a 1

es indecidible en ZFC.

Answer 5

También, Shinoda (1973) demostró que si el Axioma de Martin y $\neg CH$ se mantienen, entonces la respuesta a 1) si es afirmativa.