Densidad y distribución de Fx(X)

Question

Este problema me está subiendo por las paredes. No estoy seguro de a dónde ir con él. Sea X una variable aleatoria continua con densidad $f_X(x)>0$ para todo x. Sea $F_X$ sea la función de distribución de X.

a) Encuentre las funciones de densidad y de distribución para $U=F_X(X)$ .

b) Encuentre las funciones de densidad y distribución para $V=log(F_X(X))$ .

Answer 1

Damos una breve solución al primer problema.   El segundo da lugar a herramientas similares.   Después de conocer la respuesta al primer problema, ya no necesitamos trabajar con el potencialmente confuso $F_X(X)$ .

Dejemos que $U=F_X(X)$ . Entonces para $0\lt u\lt 1$ tenemos $$\begin{align}F_U(u) & =\Pr(U\le u) \\ & =\Pr(F_X(X)\le u) \\ & =\Pr(X\le F_X^{-1}(u)) \\ & =F_X(F_X^{-1}(u)) \\ & = u\end{align}$$

Así, $U$ tiene una distribución uniforme en $(0,1)$ .

Ahora encuentra $V= \log U$ ...