Editar: Acabo de darme cuenta de que esta pregunta está relacionada con la interesantísima pregunta de Andreas Thom aquí . Creo que la pregunta de abajo es más cruda...
La pregunta de Michael aquí me recordó a el primer lema de este trabajo de Kadison estableciendo que aquellos $C^{*}$ -algebras $\mathcal{A}\subset B(\mathcal{H})$ para el que el conjunto de elementos autoadjuntos $\mathcal{A_{s.a.}}$ es de operador fuerte cerrado bajo la toma de límites monótonos crecientes son, de hecho, álgebras de von Neumann. A menudo me he preguntado lo siguiente
Pregunta: ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para un $*$ -subálgebra $\mathcal{A}\subset B(\mathcal{H})$ tal que el cierre fuerte del operador de $\mathcal{A_{s.a.}}$ bajo redes monótonas crecientes garantiza que $\mathcal{A}$ es cerrado en la topología de operadores fuertes (es decir, es realmente un álgebra de von Neumann)?
Me gustaría saber si hay condiciones más débiles que $\mathcal{A}$ siendo un $C^{\ast}$ -para la cual la conclusión de Kadison es válida. Por ejemplo, las condiciones que incluyen cosas como " $\mathcal{A}$ es cerrado bajo el cálculo funcional continuo" y similares, que son esencialmente equivalentes a $\mathcal{A}$ siendo un $C^{*}$ -en el caso abeliano (de una sola generación), pero no en general.
(Mi impresión es que esta pregunta es realmente difícil, pero espero equivocarme. Estaría bien incluso contar con la divagación de un experto sobre precisamente por qué esta pregunta debe ser difícil... ¡ya que aprendería algunas cosas nuevas de esa visión!)
También es posible preguntarse por los análogos del teorema "arriba-abajo" de Pedersen, que dice que cualquier elemento autoadjunto en el cierre fuerte de un $C^{\ast}$ -Álgebra $\mathcal{A}$ en un espacio de Hilbert separable $\mathcal{H}$ es el límite fuerte de una secuencia monótona decreciente de elementos autoadjuntos, cada uno de los cuales es un límite fuerte de una secuencia monótona creciente de elementos autoadjuntos. ¿Se puede debilitar el $C^{\ast}$ -condición sobre $\mathcal{A}$ (He intentado modificar el argumento de Pedersen $C^{*}$ - álgebras y sus grupos de automorfismo pero si no recuerdo mal esto parece utilizar el definición de $C^{*}$ -álgebra de manera esencial. ¿Hay alguna forma de evitarlo?)
