Demostración mediante el principio de ordenación de pozos

Question

Supongamos que el conjunto $I \subseteq\mathbb{Z}$ satisface las siguientes propiedades:

a.) Existe $n \in I$ tal que $n \neq 0$

b.) Si $m,n \in I$ entonces $m+n \in I$

c.) Si $m \in I$ y $a \in \mathbb{Z}$ entonces $am \in I$

Esta fue una pista que se dio: Que $J = (m \in I : m >0)$

Demostrar que existe $n_0 \in \mathbb{Z}$ , de tal manera que $I = (kn_0 | k \in \mathbb{Z})$

Viendo que esto es de la sección de teoría de números, específicamente el algoritmo de división y el principio de ordenación de pozos, me imagino que son los que se espera que utilice.

Intuitivamente creo que esto se podría demostrar por contradicción, pero no tengo ni idea de cómo empezar y qué hacer.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Voy a suponer que te han pedido que pruebes que $I$ es el conjunto de todos los múltiplos de $k$ para algunos $0 \lt k \in \Bbb Z$ .

En primer lugar, la hipótesis a nos dice que para algunos $n \neq 0, n \in I$ . Tenga en cuenta que $n \gt 0$ o $-n \gt 0$ y si $n \in I$ entonces la suposición c nos dice también $-n = -1 \cdot n \in I$ Así que ahora sabemos $\exists n \gt 0$ con $n \in I$ .

Dejemos que $k$ sea el elemento menos positivo de $I$ . Dicho elemento tiene que existir porque los enteros positivos están bien ordenados y acabamos de demostrar que el conjunto de elementos positivos de $I$ no está vacía. Reclamación: $I = \{km~|~m \in \Bbb Z\},$ que denotaremos por $k \Bbb Z.$ Lo demostraremos mostrando $k \Bbb Z \subseteq I$ y $I \subseteq k \Bbb Z$ .

La hipótesis c nos dice que $k \Bbb Z \subseteq I$ porque sabemos que $k \in I$ por lo que la suposición c nos dice que cualquier múltiplo de $k$ está en $I$ .

Elija $n \in I$ y asumir $n \gt 0$ . Queremos demostrar $n \in k \Bbb Z$ . Para algunos $q, r \in \Bbb Z, n = qk+r$ con $0 \leq r \lt k$ -- es el algoritmo de la división euclidiana. (Si aún no has demostrado este hecho, también se puede demostrar de manera similar a la prueba que se presenta a continuación). Sabemos que $qk \in I$ Así que $-qk \in I$ y la suposición b nos dice $n-qk=r \in I$ . Pero $k$ era el elemento positivo más pequeño de $I$ para que $0 \leq r \lt k$ y $r \in I$ fuerzas $r=0$ , lo que a su vez significa $n=qk \in k \Bbb Z$ . Si $n \lt 0$ y $n \in I$ Realice el mismo análisis en $-n$ . Por lo tanto, concluimos $I \subseteq k \Bbb Z$ completando la prueba.

Answer 2

¿Conoce el lema de Bezout?

Si $m,n \in I\subset \mathbb Z$ hay $a,b \in \mathbb Z$ para que $am + bn =\gcd(m,n)$ . Ahora c; dice que $am, bn \in I$ y b; dice que $am + bn = \gcd(m,n) \in I$ .

Ahora coge la indirecta: $J \subset \mathbb N$ y $J$ no está vacío (porque un $n \ne 0$ está en $I$ y $(-1)n \in I$ así que $\pm n \in I$ y una de $n, -n$ debe ser positivo). Así que $J$ tiene un elemento mínimo, $n_0$ .

Si tomamos cualquier otros elemento $n \in I$ entonces $\gcd(n_0, n)\in I$ . Pero... $0 < \gcd(n_0, n) \le n_0$ . Pero $n_0$ es el valor menos positivo por lo que $\gcd(n_0, n) < n_0$ es imposible. Así que $\gcd(n_0, n) = n_0$ . Así que todos $n\in I$ son múltiplos de $n_0$ y $I\subset \{kn_0|k\in \mathbb Z\}$ .

Y por c; $\{kn_0|k\in \mathbb Z\} \subset I$ .

Así que $\{kn_0|k\in \mathbb Z\}=I$ .