Así que tengo un círculo: $x^2 + y^2 = 25$ y un punto $P = (7,1)$ de las líneas tangentes y tengo que encontrar las ecuaciones de estas líneas tangentes.
Así que sé que el radio es $5$ y que el centro es $C = (0,0)$ . También sé que la ecuación de una recta tangente es $y=mx+h$ .
Puedo sustituir $x$ y $y$ de $P$ en la ecuación de la línea tangencial, por lo que tendría $x$ y $y$ pero ¿cómo puedo encontrar $h$ y $m$ ¿entonces?
Las líneas que contienen $P$ tienen ecuaciones: $y-1=m(x-7)$ y queremos las líneas que sólo tienen un punto común con el círculo $x^2+y^2=25$ .
Los puntos comunes son las soluciones del sistema $$ \begin{cases} x^2+y^2=25\\ y-1=m(x-7) \end{cases} $$ Sustituyendo $y$ ( o $x$ ) de la segunda a la primera ecuación se encuentra una ecuación de segundo grado en $x$ (o $y$ ) y esta ecuación tiene una sola solución (un solo punto común) si su discriminante es nulo.
Obsérvese que el discriminante $\Delta(m)$ es un polinomio de segundo grado en $m$ por lo que La ecuación $\Delta(m)=0$ puede tener $2$ soluciones distintas ( si el punto $P$ es externa al círculo y tenemos dos líneas tangentes), una solución ( si el círculo contiene $P$ por lo que sólo tenemos una línea tangente) o ninguna solución real si el punto $P$ está dentro del círculo.
De todos modos, resolver $\Delta(m)=0$ se encuentra la pendiente de las líneas tangentes, si existen.
SUGERENCIA: escriba $$y=mx+n$$ para la línea Tangente buscada, entonces tenemos la ecuación $$y=m(x-7)+1$$ Si se introduce esto en la ecuación del círculo dado, se obtendrá $$x^2+(m(x-7)+1)^2=25$$ resolver esta ecuación para $x$ y establecer el discriminante igual a Cero obtendrá $$-24m^2+14m+24=0$$ para calcular $m$
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