Demostrar que las ecuaciones $z=xy$ y $x^2+y^2+z^2=1$ determinar la curva en $\mathbb{R}^3$

Question

Tengo que demostrar que las ecuaciones $z=xy$ y $x^2+y^2+z^2=1$ determinar la curva en $\mathbb{R}^3$ . No sé ni siquiera cómo conseguir esta curva.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Elminating $z$ a partir de las ecuaciones dadas, tenemos

\begin{align} x^2+y^2+x^2y^2&=1\\ y^2(1+x^2)&=1-x^2\\ y^2&=\frac{1-x^2}{1+x^2}\\ y&=\pm \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \end{align}

Así, $$ \bigg(x,\pm \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}},\pm x\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\bigg) $$ representa una curva con $x$ como parámetro.