Tomemos como ejemplo a los diez alumnos que sólo conocen cinco de las veinte preguntas. Para que un alumno de este grupo apruebe el examen, las dos preguntas que se le plantean deben estar entre las cinco que sabe responder. Hay $\binom{5}{2} = 10$ formas de elegir dos preguntas de las veinte de tal manera que ambas provengan del grupo de cinco que saben responder, pero hay $\binom{20}{2} = 190$ formas de elegir dos preguntas independientemente de que el alumno conozca la respuesta. Por lo tanto, la probabilidad de que un alumno de este grupo apruebe es $10/190 = 1/19$ .
Si aplicamos un razonamiento similar a los estudiantes que saben $10$ fuera del $20$ preguntas, vemos que su probabilidad de pasar es $$\frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38}.$$
Y por supuesto, los alumnos que se saben todas las preguntas siempre aprobarán; su probabilidad es $1$ .
Ahora ponderamos estas probabilidades individuales de aprobar por la probabilidad de elegir un alumno de la categoría respectiva para obtener una probabilidad global de aprobar para un alumno seleccionado al azar:
$$1 \cdot \frac{5}{30} + \frac{9}{38} \cdot \frac{15}{30} + \frac{1}{19} \cdot \frac{10}{30} = \frac{23}{76}.$$
En la segunda parte, se le dice que el alumno seleccionado al azar ha aprobado el examen. Esto afecta a la probabilidad posterior de que ese alumno haya pertenecido al grupo que sólo sabía cinco preguntas. La intuición sugiere que esta probabilidad es extremadamente pequeña.
Para calcularlo utilizamos el teorema de Bayes. Sea $P$ sea el caso en que un estudiante seleccionado al azar haya aprobado. Sea $F$ sea el caso de que un estudiante seleccionado al azar pertenezca al grupo que sólo sabe cinco preguntas. Entonces se nos pide que calculemos $\Pr[F \mid P]$ . Por el teorema de Bayes, esto es $$\Pr[F \mid P] = \frac{\Pr[P \mid F]\Pr[F]}{\Pr[P]}.$$ Se nos da $\Pr[F] = \frac{10}{30}$ . Ya calculamos en la primera parte $$\Pr[P \mid F] = \frac{1}{19}.$$ Y calculamos $$\Pr[P] = \frac{23}{76}.$$ Así que sólo queda sustituir estos valores y simplificar.
Ahora bien, la idea de que un examen conste de sólo dos preguntas, y que ambas deban responderse correctamente para aprobar, parece un poco irreal. Así que quizá podamos considerar una modificación del problema. Supongamos que el examen consiste en $4$ preguntas, y para aprobar, el estudiante debe responder al menos $3$ de la $4$ preguntas correctamente. Sin embargo, al igual que antes, el número de preguntas que un alumno sabe responder es el mismo.
Entonces, por ejemplo, entre el grupo de estudiantes que sólo conocen cinco de las veinte preguntas, la probabilidad de aprobar es $$\Pr[P \mid F] = \frac{\binom{5}{3} \binom{15}{1}}{\binom{20}{4}} + \frac{\binom{5}{4}\binom{15}{0}}{\binom{20}{4}}.$$ Esta probabilidad surge de una distribución hipergeométrica.
¿Cómo calcularías las probabilidades de los otros dos grupos?
