¿Es una acción suave de un grupo de Lie semisimple linealizable cerca de un punto estacionario?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo de Lie semi-simple que actúa suavemente (es decir, $C^\infty$ ) en una variedad suave y de dimensión finita $M$ . ¿Se deduce que la acción de $G$ es linealizable cerca de cualquier punto estacionario de la acción? Esto fue conjeturado por Steve Smale y por mí en 1965, y se demostró para el caso de que $M$ y la acción fueron analizados por Bob Herman y Guillemin y Sternberg en dos artículos de hace tiempo:

Hermann, R.: La linealización formal de un álgebra de Lie semisimple de campos vectoriales en torno a un punto singular . Trans. Am. Math. Soc. 130, 105-109 (1968)

Guillemin, V., Sternberg, S.: Observaciones sobre un artículo de Hermann . Trans. Am. Math. Soc. 130,110-116 (1968)

No he oído si se ha hecho algún progreso desde entonces y me interesaría saber de alguien que haya oído hablar de una prueba o un contraejemplo. El motivo no es sólo curiosidad; se trata del paso que faltaba para demostrar que lo que yo llamo El Principio de Criticidad Simétrica es válido para acciones suaves de dimensión finita de un grupo semisimple: véase (en particular la página 29 de) el artículo que se puede descargar aquí:

http://www.springerlink.com/content/wur75t1t65371812/

para más detalles sobre este principio y por qué es importante, sobre todo en la física matemática.

Answer 1

Hay contraejemplos suaves de Cairns y Ghys [Ens. Math. 43, 1997], por ejemplo una acción suave no linealizable de $SL(2,\mathbb{R})$ en $\mathbb{R}^3$ (fijación del origen) o de $SL(3,\mathbb{R})$ en $\mathbb{R}^8$ . Por el contrario, muestran que cualquier $C^k$ acción de $SL(n,\mathbb{R})$ en $\mathbb{R}^n$ (igual $n$ fijando el origen) es $C^k$ -linealizable. Aquí hay un enlace a su papel.