Notación del conjunto impar (corchetes)

Question

Estoy pasando por Aritmética en extensiones de $\textbf Q$ y me he encontrado con esta notación unas cuantas veces (por ejemplo $\textbf Z[i]$ o $\textbf Z[w]$ ).

"Dejemos $\alpha$ sea un número entero algebraico y $p(x)$ sea su polinomio mínimo (mónico) $$p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_ix^i$$

De tal manera que $p(\alpha) = 0$ y $a_i \in \textbf Z$ ( $\textbf Z$ es el conjunto de números enteros) y $a_n = 1$ .

"La extensión de un anillo $A$ por el elemento $a$ es el conjunto $A[\alpha]$ de todos los números complejos de la forma $$\sum_{j=0}^{n-1} c_j\alpha^j$$ tal que $c_j \in A$ con todas las operaciones heredadas de $A$ .

"El grado de la extensión es el grado del polinomio".

Entiendo perfectamente el 'entero algebraico' y el 'polinomio mínimo' y el concepto de extensión de conjuntos/anillos, al menos eso creo. Mi problema es sobre todo con la frase del medio; cuando dice 'todos los números complejos de la forma', pero ¿no hay sólo un polinomio mínimo por lo que sólo hay un elemento en el conjunto $A[\alpha]$ ? ¿Es ese único elemento básicamente $p(\alpha) - x^n$ ? ¿O son los $c_j$ relacionados con el $a_i$ ¿en absoluto? La misma $n$ se menciona dos veces. Si no es así, ¿por qué introducir $p(x)$ ¿en absoluto? ¿Y qué es el anillo $A$ ? ¿Es un conjunto inicialmente vacío? ¿Y qué significa "todas las operaciones heredadas de $A$ ¿Significa eso? Honestamente, no puedo encontrar una explicación en línea para el $A[\alpha]$ ¿alguna clase de notación o alguna de mis otras preguntas en línea?

P.D. Sé que $\textbf Z[i]$ representa los enteros gaussianos, lo cual tiene cierto sentido, pero no del todo por las mismas razones mencionadas anteriormente.

Answer 1

Bienvenido a Mathematics Stack Exchange.

$A$ es un anillo como $\Bbb Z$ .

$\alpha$ es un número entero algebraico como $i$ cuyo polinomio mínimo es $x^2+1$ .

La ampliación $A[\alpha]$ tiene números de la forma $c_0+c_1\alpha+c_2\alpha^2+...+c_{n-1}a^{n-1},$ con $c_j\in A$ .

En el ejemplo con $\alpha=i,$ los elementos de $\mathbb Z[i]$ tienen la forma $c_0+c_1i$ .

El $c_j$ no están relacionados con el $a_i$ .

Tenga en cuenta que, si $\alpha$ es una raíz de un $n^{th}$ polinomio de grado,

entonces $\alpha ^n$ puede expresarse como una combinación lineal de $1, \alpha, \alpha^2, ..., \alpha^{n-1}$ .

En el ejemplo con $\alpha=i$ , $\alpha^2=-1(1)+0(\alpha)$ .

Por eso, en la suma para $p(x),$ el índice sube a $n$ ,

mientras que en la suma para un elemento de $A[\alpha],$ el índice sube a $n-1$ .

Operaciones heredadas de $A$ significa que cuando sumamos o multiplicamos dos elementos de $A[\alpha]$ ,

diga $(c_0+c_1\alpha+c_2\alpha^2+...+c_{n-1}\alpha^{n-1})+(d_0+d_1\alpha+d_2\alpha^2+...+d_{n-1}\alpha^{n-1}),$

el resultado es $(c_0+d_0)+(c_1+d_1)\alpha+(c_2+d_2)\alpha^2+...+(c_{n-1}+d_{n-1})\alpha^{n-1},$

donde $c_j+d_j$ se calcula en $A$ .

Y cuando multiplicamos $(c_0+c_1i)(d_0+d_1i),$

el resultado es $c_0d_0+(c_0d_1+c_1d_9)i+c_1d_1i^2=c_0d_0-c_1d_1+(c_0d_1+d_1c_0)i,$

donde de nuevo los productos y las sumas de términos que implican $c_j$ y $d_j$ se calculan en $A$ .

Answer 2

Sólo quiero ampliar las "operaciones heredadas de $A$ ." Si el libro sólo habla de dominios infinitos como $\mathbb Q$ y $\mathbb Z$ con las habituales sumas y multiplicaciones, mencionar la herencia de operaciones podría resultar innecesariamente confuso.

Consideremos, por ejemplo, el anillo finito $\mathbb Z_{10}$ que consta únicamente de los números enteros del 0 al 9. Esto parecería tener la suma y la multiplicación habitual, ya que, por ejemplo, $1 + 1 = 1 \times 2 = 2$ .

Sin embargo, $7 + 7 = 7 \times 2$ pero no es igual a 14. Ambas operaciones se "envuelven" para volver a caer en $\mathbb Z_{10}$ , dando 4 en lugar de 14 en este caso.

Ahora considere $\mathbb Z_{10}[\sqrt{53}]$ . Entonces $\sqrt{53} + \sqrt{53} = 2\sqrt{53}$ tal y como esperamos. Pero $7 \times 2\sqrt{53}$ no es $14\sqrt{53}$ pero $4\sqrt{53}$ .

¿Qué es lo que $(\sqrt{53})^2$ ¿ser? No estoy exactamente seguro, yo mismo estoy confundido en este punto. Pero espero haberte dado una idea más clara de cómo la suma y la multiplicación pueden diferir de lo que estás acostumbrado.

Los anillos de matrices pueden ser otro buen ejemplo.