Dejemos que $\rho : G \rightarrow \operatorname{GL}(V)$ ser un $n$ -representación compleja de un grupo finito $G$ (para un espacio vectorial complejo $V$ ). Escriba $\chi(g) = \operatorname{tr}(\rho g)$ por el carácter de $g$ .
Si tenemos un elemento $u \in G$ de orden dos, entonces es fácil demostrar que $\chi(u) \in \mathbb{Z}$ ya que podemos ver $V$ como $\mathbb{C}\langle u \rangle$ -por restricción, que debe ser una suma de irreducibles $\mathbb{C}\langle u \rangle$ -pero esos son sólo los triviales $\mathbb{C}\langle u \rangle$ -y la representación que envía $u \mapsto -1$ . Por lo tanto, también tenemos $\chi(u) \equiv \chi(1) \pmod{2}$ .
Quiero demostrar que si $G$ no tiene un subgrupo de índice 2, entonces $\chi(u) \equiv \chi(1) \pmod{4}$ . El problema sugiere utilizar el homomorfismo $(\det \circ \rho) : G \rightarrow \mathbb{C}^\times$ pero no se me ocurre cómo hacerlo.
Esto es lo que he probado hasta ahora: Desde $\chi(u)$ es una suma de $n$ sumandos que son cada uno $1$ o $-1$ sólo tenemos que comprobar que para $i$ el número de sumandos que son negativos, $-i \equiv i \pmod{4}$ . Por lo tanto, basta con comprobar si $i$ está en paz. Claramente, esto se puede hacer utilizando el determinante: Dado que la matriz de $\rho g$ es diagonal, esto es sólo un producto de $n$ factores $1, -1$ y es $1$ exactamente cuando $i$ está en paz. ¿Cómo paso de aquí a un subgrupo de índice 2 en $G$ ?
