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Encuentre la expresión para $\sum_{k=0}^{n} l_k(0)x_k^{n+1}$

Si la interpolación de $f(x)$ en el conjunto de puntos distintos $x_0, x_1, \cdots x_n$ viene dada por $$\sum_{k=0}^{n} l_k(x)f(x_k).$$ Encuentre una expresión para $$\sum_{k=0}^{n} l_k(0)x_k^{n+1}.$$

No sé cómo probar el problema. Me parece que $\sum_{k=0}^{n} l_k(x)f(x_k)$ es como la fórmula de interpolación de Lagrange y tenemos que encontrar una forma adecuada de $f(x)$ tal la expresión $\sum_{k=0}^{n} l_k(0)x_k^{n+1}$ saldrá de $\sum_{k=0}^{n} l_k(x)f(x_k)$ . Pero no sé cómo conseguir la forma adecuada.

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David Puntos 505

La expresión requerida es el valor en $0$ del polinomio de interpolación de Lagrange $g(x)$ para $f(x) = x^{n+1}$ . La función $g(x)$ es el único polinomio de grado $\leq n$ que está de acuerdo con $f(x)$ en $x_0, x_1, \dots, x_n$ .

Obviamente, $g(x) = x^{n+1} - (x-x_0)(x-x_1) \dots (x - x_n)$ satisface las condiciones requeridas, por lo que debe ser la elección correcta de $g(x)$ .

La respuesta es $g(0) = (-1)^n x_0 x_1 \dots x_n$ .

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